Geradenspiegelungen

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

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Übungsaufgabe

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $\ g$
$(P \notin g)$

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	Wir fällen das Lot von $\ P$ auf $\ g$. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden $\ g$ bezeichnen wir mit $\ L$	Existenz und Eindeutigkeit des Lotes So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt $\ P$ und der Geraden $\ g$. Außerdem steht das Lot senkrecht auf $\ g$ , was die Voraussetzung dafür ist, dass $\ g$ später Mittelsenkrechte werden kann.	Existenz und Eindeutigkeit des Lotes + Existenz und Eindeutigkeit des Schnittpunktes $L$
2.	Nun tragen wir die Strecke $\overline{PL}$ auf der Halbgeraden $\ LP^-$ ab	Axiom vom Lineal (Eindeutigkeit des Streckenabtragens auf einem Strahl) Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten der Halbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden $\ g$	Existenz und Eindeutigkeit des Streckenabtragens
3.	Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit $\ P'$	$\ P'$ ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an $\ g$. Das wird dadurch ersichtlich, dass $\ P$ und $\ P'$ den gleichen Abstand zu $\ g$ haben und $\ g$ somit Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{PP'}$ ist.	Axiom vom Lineal -geändert Tunichtgut-

Bemerkung --*m.g.* 16:20, 1. Nov. 2010 (UTC):
Mit der Korrektheit ist hier etwas anderes gemeint ... .

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$)

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung $\ S_g$ versteht man eine ....

Es sei $\ g$ eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung $\ S_g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:

(1) Für den Fall dass P $\in$ $\ g$: P = P'

(2) Für den fall dass P $\notin$ $\ g$: Die Gerade $\ g$ ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Alternativ?

Es seien eine Gerade g und zwei Punkte A, A' $\in$ g. s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A, wenn gilt: s ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'[Balken drüber].

Bemerkungen --*m.g.* 15:49, 1. Nov. 2010 (UTC):

"Balken drüber": \overline{AA'}: $\overline{AA'}$

Handelt es sich wirklich um eine Definition des Begriffs Geradenspiegelung
oder doch eher um eine Definition des Begriffs Spiegelgerade? 
Beide hängen natürlich eng miteinander zusammen, aber wenn Geradenspiegelung zu definieren ist ... .

Macht es Sinn einem Punkt seine Spiegelgerade zuzuordnen ("s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A")

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $\ S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $\ A$, $\ B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $\ g$ auf ihre Bilder $\ A'$ und $\ B'$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1

$\ A, B$ $\in$ $\ g$

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.

Bemerkung --*m.g.* 16:01, 1. Nov. 2010 (UTC):
Auch wenn wir Umlaufsinn bisher nirgends definiert haben,
wissen wir, dass jede Geradenspieglung den Umlaufsinn verändert.
Kann eine Geradenspeigelung damit die Identität sein?
Sie meinen nicht, dass die jweils betrachtete Geradenspiegelung die Identität ist,
sondern, dass jeder Punkt der Spiegelgeraden $g$ auf sich selbst abgebildet wird.

dann so: extra exakt (kleinschrittig):

Beweis

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	$\ A =\ A'$; $\ B =\ B'$	Definition Geradenspiegelung
2.	$\overline{AB} \simeq \overline{A'B'}$	Reflexivität der Streckenkongruenz
3.	$|\overline{AB}| = |\overline{A'B'}|$	Def. Streckenkongruenz

oder ungenauer, aber vermutlich ausreichend:

Die Abstandserhaltung unmittelbar aus dem ersten Teil der Def. Geradenspiegelung, da $\overline{AB}$=$\overline{A'B'}$--Tja??? 21:42, 6. Nov. 2010 (UTC)

Fall 2

$\ A$ $\in$ $\ g$, $\ B$ $\notin$ $\ g$

Den Schnittpunkt von $\overline {BB'}$ mit $\ g$ bezeichnen wir mit $\ L$

Beweis

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	$\ A$ = $\ A'$	Definition Geradenspiegelung
2.	$\ |BL| = |B'L|$	$\ g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{BB'}$
3.	$\|AL| = |A'L|$	Es handelt sich um dieselbe Gerade.
4.	$\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|$ = 90°	$\ g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{BB'}$
5.	$\overline {ABL}$ kongruent $\overline {A'B'L}$	2. + 3. + 4. + SWS
6.	$\ |AB| = |A'B'|$	5.

Fall 3

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$

Den Schnittpunkt von $\overline {BB'}$ mit $\ g$ bezeichnen wir mit $\ L$

Den Schnittpunkt von $\overline {AA'}$ mit $\ g$ bezeichnen wir mit $\ M$

Beweis

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	$| \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |$ = 90°	$\ g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{AA'}$
2.	$\overline {AML}$ kongruent $\overline {A'ML}$	1.
3.	$| \angle MAL| = | \angle ALB |$ und $| \angle MA'L| = | \angle A'LB' |$	Wechselwinkelsatz, da $\overline {AA'} || \overline {BB'}$
4.	$| \angle MAL| = | \angle MA'L |$ --> $| \angle ALB| = | \angle A'LB' |$	2. + 3.
5.	$| \overline {BL}| = | \overline {B'L}|$	$\ g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{BB'}$
6.	$| \overline {AL}| = | \overline {A'L}|$	2.
7.	$| \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|$	4. + 5. + 6. + SWS
8.	$| \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|$	7.

Ergänzung: Für den Fall, das A und B nicht in der selben Halbebene bezüglich der Geraden s liegt, läuft der Beweis analog, nur dass die Winkel anderst benannt werden müssen.

Müsste es bei Fall 3 Schritt 5 nicht $\ g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{BB'}$ heißen oder bezieht man hier Fall 2 mit ein, sodass der Beweis formal und logisch richtig ist? Ja $\overline{BB'}$ ist korrekt, habs geändert.
Vielen Dank :) --Andreas 16:02, 30. Okt. 2010 (UTC)

Bemerkung--*m.g.* 16:44, 1. Nov. 2010 (UTC):
soweit ich sehe ist der Beweis korrekt.
Fall 2 dürfte, da er bereits bewiesen wurde, verwendet werden.
Vielleicht doch zwei Unterfälle:
$A$ und $B$ in derselben Halbebene bezüglich $g$
und
 $A$ und $B$ in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$?

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Satz 2.2

Zu jeder Geraden gibt es genau eine Geradenspiegelung.

Anders ausgedrückt: Eine Geradenspieglung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

Möglicher Beweis von Satz 2.2

1.(es gibt mindestens eine)

Es sei eine Gerade g und ein Punkt P nicht Є g. Ich konstruiere P´ dermaßen, dass gilt: g ist Mittelsenkrechte von |PP´|. Nach Def. ist dies eine Geradenspiegelung an g.

Damit ist die Existenz bewiesen.

2. (es gibt höchstens eine)

Um zu zeigen dass es nicht mehr Geradenspiegelungen geben kann, nehme ich an, dass es mindestens zwei Geradenspiegelungen an einer Geraden gibt.

So konstruiere ich also P´´ so, dass g die Mittelsenkrechte von |P´P´´| ist (dies möge auf dem Bild so sein).

Bleibt also z.z.: P = P´´

Kann ich das zeigen bin ich fertig, denn dann habe ich wieder die Identität und das "Spiegelspielchen" könnte von neuem beginnen. Also nehme ich an: P ≠P``

Es möge gelten: |PP´| ∩ g = Q und |P`P``| ∩ g = R

Ich betrachte das Dreieck ∆P´QR:

Es gilt also nach Konstruktion (Ich geh einfach mal davon aus ich könnte so etwas konstruieren) bzw. Def. Spiegelung an einer Geraden: |<P´QR = <P`RQ = 90°|(Wiederspruch zum Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck)

Also ist P = P´´.

Damit ist bewiesen, dass es nicht mehr als eine Spiegelung geben kann. --Shaun15 23:23, 2. Nov. 2010 (UTC)

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $\ S$ ist durch die Angabe eines Punktes $\ P$ und dem Bild von $\ S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $\ P \not= S(P)$ gilt.

Dieser Satz gilt, da nach Definition Geradenspiegelung die Spiegelgerade s die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline PS(P)$ ist und diese Mittelsenkrechte exisitert und eindeutig ist. --Tja??? 16:40, 2. Nov. 2010 (UTC)