Benutzer:Andreas

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Spiegelung_Test
Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

Beweis

Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel $\beta$
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {ZP} \tilde = \overline {ZP'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
2) $\overline {ZQ} \tilde = \overline {ZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
3) $\angle {PZP'} \tilde = \angle {QZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
4) $|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|$ $|\alpha'|= |\alpha|$	rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da $\beta = \angle {PZP'}$ und $\beta' = \angle {QZQ'}$
5) $\triangle {ZPQ} \tilde = \triangle {ZP'Q'}$	folgt aus den Schritten 1-4, sws
6) $\overline {PQ} \tilde = \overline {P'Q'}$	folgt aus Schritt 5
7) $|PQ|=|P'Q'|$	folgt aus Schritt 6, q.e.d

--Andreas 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

Beweis

Voraussetzung: $\phi$ ist eine Bewegung, $\phi$ hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: $\beta \cong \beta'$

Beweisschritt	Begründung
1. $P \ne P', Q \ne Q'$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. $\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. $\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. $\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. $\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}$	sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. $\alpha \cong \alpha'$ $|\alpha|= |\alpha'|$	folgt aus Schritt 5
7.$|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|$ $|\beta'|=|\beta|$ $\beta' \cong \beta$	rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6

--Andreas 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)