Quelltext der Seite Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe 11)

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====
Ich bin doch nicht verrückt ^^ --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:31, 7. Jul. 2011 (CEST)<br>
Hm... ich denke mit verrückt sein hat das wenig zu tun... die Existens einer Parallelen kann man beweisen. Deshalb heißt es im Parallelenaxiom auch nicht "genau", sonder "höchstens". Würde es "genau" heißen, so wäre das Axiom nicht unabhängig und dies würde den Ansprüchen an ein Axiom widersprechen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:49, 8. Jul. 2011 (CEST) 
Übungsaufgabe
<br /><br />

Wo besteht der Unterschied zwischen dem EP und dem Satz über die Existenz von Parallelen? In beiden steht Wort wörtlich das Gleiche. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 17:20, 12. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />

Das Axiom meint die Eindeutigkeit der Parallele, wobei der Satz die Existenz von Parallelen beschreibt.
Im Axiom steht höchstens eine nicht genau eine Gerade.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:35, 13. Jul. 2011 (CEST)


[[Beweisidee:]]
es existiert eine Gerade f, die P enthält:

f geschnitten mit g ist dann entweder leer => f = h

oder

f geschnitten mit g ist Punkt Q => nach dem Winkelkonstruktionsaxiom möge f die Geraden g und h derart schneiden,
dass kongruente Stufenwinkel entstehen. Nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes wären g und h parallel.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:42, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.<br /><br />
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai<br />
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.


Beweis:<br />
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.


[[Category:Einführung_Geometrie]]