Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe 11)

Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen)

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parallel zu $\ g$ ist.

Beweis der Existenz von Parallelen

Ich bin doch nicht verrückt ^^ --Peterpummel 13:31, 7. Jul. 2011 (CEST)
Hm... ich denke mit verrückt sein hat das wenig zu tun... die Existens einer Parallelen kann man beweisen. Deshalb heißt es im Parallelenaxiom auch nicht "genau", sonder "höchstens". Würde es "genau" heißen, so wäre das Axiom nicht unabhängig und dies würde den Ansprüchen an ein Axiom widersprechen. --Tutor Andreas 10:49, 8. Jul. 2011 (CEST) Übungsaufgabe

Wo besteht der Unterschied zwischen dem EP und dem Satz über die Existenz von Parallelen? In beiden steht Wort wörtlich das Gleiche. --Teufelchen 17:20, 12. Jul. 2011 (CEST)

Das Axiom meint die Eindeutigkeit der Parallele, wobei der Satz die Existenz von Parallelen beschreibt. Im Axiom steht höchstens eine nicht genau eine Gerade.--mm_l 12:35, 13. Jul. 2011 (CEST)

Beweisidee: es existiert eine Gerade f, die P enthält:

f geschnitten mit g ist dann entweder leer => f = h

oder

f geschnitten mit g ist Punkt Q => nach dem Winkelkonstruktionsaxiom möge f die Geraden g und h derart schneiden, dass kongruente Stufenwinkel entstehen. Nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes wären g und h parallel.--mm_l 12:42, 13. Jul. 2011 (CEST)

Geschichte des Parallelenaxioms

Vater und Sohn Bolyai

Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden. . . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit, diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.

Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820) ([1], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

Carl Friedrich Gauß

http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F

Николай Иванович Лобачевский

http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski

Das Euklidische Parallelenaxiom

EP

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es höchstens eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.

Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen

Der Stufenwinkelsatz

Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz)

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis:
Übungsaufgabe

Der Wechselwinkelsatz

Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz)

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen

Satz XII.3

Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.