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===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====

Übungsaufgabe
<br /><br />


== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.<br /><br />
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai<br />
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.


Beweis:<br />
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.


[[Category:Einführung_Geometrie]]


Vor: g parallel zu h<br />
Beh: <math> \mid\alpha \mid + \mid \beta \mid = 180</math><br />
<br />
Bew: 1) <math>\alpha</math> und <math>\alpha`</math> sind Nebenwinkel
--> <math> \mid\alpha \mid + \mid \alpha` \mid = 180</math><br />

2)<math> \alpha`  \tilde {=}  \beta</math> betta kongruent zu alpha` (Def. Stufenwinkel, Stufenwinkelsatz)<br />
3)  <math> \mid\alpha \mid + \mid \beta \mid = 180</math>(1,2, Rechnen in R)  --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:31, 19. Jan. 2012 (CET) <br /> 
stimmt das??<br /><br />

Ja, wenn du die Winkel auf eine entsprechende Zeichnung beziehst. <br />
Ich habe den Beweis jetzt mal formatiert. Formeln lassen sich übrigens nicht mit / ankündigen, sondern mit Alt GR-Taste und der ?-Taste: so \. Formel erhälst du mit dem Zeichen oben, auf der eine Wurzel über einem n abgebildet ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:28, 25. Jan. 2012 (CET)