Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom WS 11/12

Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen)

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parallel zu $\ g$ ist.

Beweis der Existenz von Parallelen

Übungsaufgabe

Geschichte des Parallelenaxioms

Vater und Sohn Bolyai

Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden. . . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit, diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.

Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820) ([1], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

Carl Friedrich Gauß

http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F

Николай Иванович Лобачевский

http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski

Das Euklidische Parallelenaxiom

EP

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es höchstens eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.

Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen

Der Stufenwinkelsatz

Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz)

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis:
Übungsaufgabe

Der Wechselwinkelsatz

Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz)

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen

Satz XII.3

Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.

Vor: g parallel zu h
Beh: $\mid\alpha \mid + \mid \beta \mid = 180$

Bew: 1) $\alpha$ und

sind Nebenwinkel

-->

2)

betta kongruent zu alpha` (Def. Stufenwinkel, Stufenwinkelsatz)

3) $\mid\alpha \mid + \mid \beta \mid = 180$(1,2, Rechnen in R) --Lottta 13:31, 19. Jan. 2012 (CET)
stimmt das??

Ja, wenn du die Winkel auf eine entsprechende Zeichnung beziehst.
Ich habe den Beweis jetzt mal formatiert. Formeln lassen sich übrigens nicht mit / ankündigen, sondern mit Alt GR-Taste und der ?-Taste: so \. Formel erhälst du mit dem Zeichen oben, auf der eine Wurzel über einem n abgebildet ist.--Tutorin Anne 12:28, 25. Jan. 2012 (CET)