Quelltext der Seite Ganze Zahlen mit der Multiplikation

Im Grunde ist die Überprüfung, ob es sich bei <math>[\Z,\sdot]</math> um eine Gruppe handelt, mit dem Verweis auf die [[ Natürliche Zahlen mit Multiplikation]] schon beinahe trivial.

Dennoch hier ein analog geführtes (Gegen)Beispiel:


(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: <math> a=4, b=5, a \sdot b=4 \sdot 5=20 \in \Z </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(2) Assoziativität

Beispiel: <math> a=3, b=2, c=4, (a \sdot b)\sdot c=(3 \sdot 2) \sdot 4=6 \sdot 4=24=3 \sdot 8=3 \sdot (2 \sdot 4)=a \sdot (b \sdot c) </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(3) neutrales Element

Beispiel: <math> a=4, e=1, a \sdot e=4 \sdot 1=4, e \in \Z </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(4) inverses Element

Beispiel: <math> a=4, a</math><sup>-1</sup><math>=(1/4), a \sdot a</math><sup>-1</sup><math>=4 \sdot (1/4)=1=e, a</math><sup>-1</sup><math> \notin \Z </math> <span style="color:red;">passt nicht!</span>


Somit handelt es sich bei <math>[\Z,\sdot]</math> nicht um eine Gruppe.