Quelltext der Seite Geradenspiegelungen (2015 16)

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |


== Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung==
=== Idee der Symmetrie ===
<ggb_applet width="458" height="328"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

<br /><br />Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===

{| class="wikitable" 
|- 
| [[Bild:Spiegelung_01.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_02.JPG|200px]] ||[[Bild:Spiegelung_03.JPG|200px]] 
|- 
| [[Bild:Spiegelung_04.JPG|200px]]  || [[Bild:Spiegelung_05.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_06.JPG|200px]] 
|-
| [[Bild:Spiegelung_07.JPG|200px]]  || [[Bild:Spiegelung_09.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_10.JPG|200px]] 
|-
| [[Bild:Spiegelung_11.JPG|200px]]  || [[Bild:Spiegelung_12.JPG|200px]] ||   
|}

===Falten===
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math> P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math> g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />



=== Reduktion der großen Idee ''Geradenspiegelung'' auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ===
====Übungsaufgabe:====

Es sei <math>P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>P</math> bei der Spiegelung an <math>g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.


{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>g</math>, 
<math>(P \notin g) </math> 
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Lotgerade von <math>P</math> auf <math>g</math>
| Fällen des Lotes von <math>P</math> auf die Gerade <math>g</math>.
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
|-
| 2.
| Lotfußpunkt <math>L</math>
| Einzeichnen des Lotfußpunktes <math>L</math> als Schnittpunkt der Geraden <math>g</math> mit der Lotgeraden von <math>P</math> auf <math>g</math>.
| ...
|-
| 3.
| <math>|PL|</math> auf <math>LP^-</math> abtragen, Erhalten <math>P'</math>
| Die Strecke <math> \overline{PL}</math> wird auf dem Strahl <math>LP^-</math> abgetragen, dadurch erhält man das Bild von <math>P</math> bei Spiegelung an <math>g</math> nämlich <math>P'</math>
| ...
|}
 
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math> g</math>)=====
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math> S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt <math>P</math> der Ebene wie folgt auf sein Bild <math>P'</math> abbildet:
# <math>P \equiv P'</math>, falls <math> P \in g </math> 
# <math>g</math> ist die Mittelsenkrechte von <math> \overline{PP'}</math>, sonst.

==Geradenspiegelungen als Bewegungen==
====Satz 2.1====
Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden.

====Beweis von Satz 2.1:====
Es sind zwei Dinge zu zeigen:<br />
{| class="wikitable"
|-
| (I) || Jede Geradenspiegelung hat genau eine Fixpunktgerade.
|-
| (II)|| Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend.
|}
Es seien <math> A</math>, <math> B</math> zwei Punkte, die an der Geraden <math> g</math> auf ihre Bilder <math> A'</math> und <math> B'</math> durch die Spiegelung an <math>g</math> abgebildet werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:<br />

Fall 1:<br />
Fall 2:<br />
Fall 3:
====Satz 2.2====
Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung entsprechend Definition 2.1.

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
==== Satz 2.2 ====
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />

'''Beweis'''



==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math> S_g</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math> P</math> und dem Bild von <math> S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls  <math> P \not= S_g(P)</math> gilt.
<br />

'''Beweis'''




<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]