Geradenspiegelungen (2015 16)

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Inhaltsverzeichnis

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie



Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Spiegelung 01.JPG Spiegelung 02.JPG Spiegelung 03.JPG
Spiegelung 04.JPG Spiegelung 05.JPG Spiegelung 06.JPG
Spiegelung 07.JPG Spiegelung 09.JPG Spiegelung 10.JPG
Spiegelung 11.JPG Spiegelung 12.JPG

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes  P bei einer Spiegelung an der Geraden  g


Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei P ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden g dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von P bei der Spiegelung an g. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.


Konstruktion des Bildes eines Punktes P bei der Spiegelung an einer Geraden g, (P \notin g)
Nr. Beschreibung des Schrittes Genauere Beschreibung Begründung der Korrektheit des Schrittes
1. Lotgerade von P auf g Fällen des Lotes von P auf die Gerade g. Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
2. Lotfußpunkt L Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g. ...
3. |PL| auf LP^- abtragen, Erhalten P' Die Strecke  \overline{PL} wird auf dem Strahl LP^- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P' ...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden  g)
Es sei g eine Gerade. Unter der Spiegelung  S_g an der Geraden g versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt P der Ebene wie folgt auf sein Bild P' abbildet:
  1. P \equiv P', falls  P \in g
  2. g ist die Mittelsenkrechte von  \overline{PP'}, sonst.

Geradenspiegelungen als Bewegungen

Satz 2.1

Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden.

Beweis von Satz 2.1:

Es sind zwei Dinge zu zeigen:

(I) Jede Geradenspiegelung hat genau eine Fixpunktgerade.
(II) Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend.

Es seien  A,  B zwei Punkte, die an der Geraden  g auf ihre Bilder  A' und  B' durch die Spiegelung an g abgebildet werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1:
Fall 2:
Fall 3:

Satz 2.2

Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung entsprechend Definition 2.1.

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

Beweis


Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung  S_g ist durch die Angabe eines Punktes  P und dem Bild von  S(P) eindeutig bestimmt, falls  P \not= S_g(P) gilt.


Beweis