Schubspiegelung (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. Dezember 2011, 13:47 Uhr

Die Idee

Entsprechend der Bezeichnung Schubspiegelung würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem sie die Definition wie eine Einschränkung dieser Vorstellung aus.

Die Definition

Definition: (Schubspiegelung)

Es sei eine Geradenspiegelung und eine Gerade, die senkrecht auf den Spiegelachsen und steht. Die NAF heißt Schubspiegelung mit der Schubspiegelachse .

Spiegelschiebung?

Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition Schubspiegelung genügen.

Satz SCH/1

Es sei eine Schubspieglung. Dann gilt

Beweis

Es sei .

Die Geraden haben damit die folgenden Eigenschaften.

Beweis der Kommutativität

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)		die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier Geradenspiegelungen
(II)		(I), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(III)		(II), 3.
(IV)		(III), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(V)		(IV), 2.
(VI)		(VI), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(VII)		(I), (VI)

Nach dem Beweis von Satz SCH/1 ist klar, dass die Einschränkung in der Definition Schubspiegelung sinnvoll ist, weil durch diese Einschränkung die Kommutativität der NAF von Geradenspiegelung und Verschiebung gewährleistet ist.

Im folgenden zeigen wir dass die Einschränkung in der Definition des Begriffs Schubspieglung letztlich nicht die Menge aller Schubspiegelungen einschränkt.

Satz SCH/2

Jede Nacheinanderausführung einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung ist eine Schubspiegelung entsprechend der Definition Schubspiegelung.

Beweis

Wir gehen aus von der NAF Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\blue“): \blue \left( S_b \circ S_a \right)

mit  und . Es gelte .

Wegen der Assoziativität der NAF von Abbildungen dürfen wir neu klammern:

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_g \circ S_b \right)

[Bild:Schub_01.jpg|400px]]