Schubspiegelung (2011/12)

Die Idee

Entsprechend der Bezeichnung Schubspiegelung würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem sieht die folgende Definition wie eine Einschränkung dieser Vorstellung aus.

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Die Definition

Definition: (Schubspiegelung)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung und $g$ eine Gerade, die senkrecht auf den Spiegelachsen $a$ und $b$ steht. Die NAF $S_g \circ V$ heißt Schubspiegelung mit der Schubspiegelachse $g$.

Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?

Spiegelschiebung?

Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition Schubspiegelung genügen.

Satz SCH/1

Es sei $S_g \circ V$ eine Schubspieglung. Dann gilt $S_g \circ V = V \circ S_g$

Beweis

Es sei $S_g \circ V = S_g \circ \left(S_b \circ S_a\right)$.

Die Geraden $a,b, g$ haben damit die folgenden Eigenschaften.

1. $a \|| b$
2. $g \perp a$
3. $g \perp b$

Beweis der Kommutativität $S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) = \left( S_b \circ S_a \right) \circ S_g$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$SCH_g=S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)$	die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier Geradenspiegelungen
(II)	$SCH_g = \left( S_g\circ S_b \right) \circ S_a$	(I), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(III)	$SCH_g = \left(S_b \circ S_g \right) \circ S_a$	(II), 3.
(IV)	$SCH_g = S_b \circ \left( S_g \circ S_a \right)$	(III), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(V)	$SCH_g = S_b \circ \left( S_a \circ S_g \right)$	(IV), 2.
(VI)	$SCH_g = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g$	(VI), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(VII)	$S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g$	(I), (VI)

Nach dem Beweis von Satz SCH/1 ist klar, dass die Einschränkung in der Definition Schubspiegelung sinnvoll ist, weil durch diese Einschränkung die Kommutativität der NAF von Geradenspiegelung und Verschiebung gewährleistet ist.

Im folgenden zeigen wir dass die Einschränkung in der Definition des Begriffs Schubspieglung letztlich nicht die Menge aller Schubspiegelungen einschränkt.

Satz SCH/2

Jede Nacheinanderausführung einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung ist eine Schubspiegelung entsprechend der Definition Schubspiegelung.

Beweis

Wir gehen aus von der NAF $S_g \circ$

mit $a \|| b$ und $g \not{\perp} a, g \not{\perp} b$. Es gelte $g \cap a =S_1, g \cap b = S_2$.

Wegen der Assoziativität der NAF von Abbildungen dürfen wir neu klammern:

$\circ S_a$

ist eine Drehung um $S_2$ mit einem Drehwinkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen $b$ und $g$.

Dieselbe Drehung erhält man, wenn $b$ und $g$ durch zwei Geraden $b'$ und $g'$ mit $b' \cap b' = \{S_2\}, \angle (b,g) \tilde= \angle (b',c')$ ersetzt und

verwendet.

Wir wählen $b'$ derart, dass $b' \perp a$ gilt.

Bisher haben wir damit die NAF

$S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)$

durch die NAF

(*)

$\circ S_a$

ersetzt

Wegen der bereits mehrfach erwähnten Assoziativität dürfen wir in (*) neu klammern

und erhalten (**) $S_{g'} \circ$

.

Weil

gilt ist (**) identisch zu 

(***) $S_{g'} \circ$

Die Drehung

kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen 

ersetzt werden. Wie wählen

derart, dass $a' \perp g'$ gilt. Aus $b'' \perp a'$ folgt dann unmittelbar $b'' \|| g'$

In (***) dürfen wir wiederum neu klammern und erhalten:

(****) $\left( S_{g'} \circ S_{a'} \right) \circ S_{b''}$

Wegen $g' \perp a$`ist (****) identisch zu

(*****) $\left( S_{a'} \circ S_{g'} \right) \circ S_{b''}$

Neu klammern in (*****) liefert

$S_g \circ$

$\equiv$$S_{a'} \circ$

$S_{a'} \circ$

erfüllt die Bedingungen der Definition Schubspiegelung.

q.e.d.