Quiz der Woche: Unterschied zwischen den Versionen

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(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }  
 
(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }  
 
(T) <math>R</math> ist  { transitiv }
 
(T) <math>R</math> ist  { transitiv }
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{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
 
{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
 
| type="{}" }
 
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Version vom 16. Mai 2010, 17:41 Uhr

Es sei \ R ein Äquivalenzrelation auf der Menge \ M. Wir zerlegen \ M derart in Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ..., dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von \ M, die in der Relation \ R zueinander stehen.

Übung zur Generierung einer Klasseneinteilung entsprechend obiger Idee.
Wir gehen von der folgenden Menge \ M aus:
\lbrace-26, 17, 75, -40, -13, 17, -55, -15, 7, -35, 95, 65, -9, 40, 3, 0,91, 70, -62, -22, 12, 26, 31,33, 50, -15, -100, -83, -61, -17 \rbrace
Die Relation \ R sei wie folgt festgelegt: Zwei Zahlen aus \ M stehen in Relation zueinander, wenn sie bei Division durch 4 denselben Rest lassen. Da als Reste nur die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in Frage kommen wird \ M in 4 verschiedene Klassen entsprechend dieser Relation eingeteilt. Die Zahlen -40, 17, -26 und 75 gehören dementsprechend jeweils in eine eigene Klasse. Orden Sie die restlichen Zahlen durch Ziehen mit der Maus den richtigen Klassen zu.

-26

-40

75

17

4070-625026-15-55959112-35-8365331-610-22-15337-17-13-10017-9

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1. Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus \ M zu indizieren. Unter der Klasse \ T_a verstehen wir dann alle Elemente von \ M, die mit dem Element \ a aus M in der Relation \ R stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

\bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace
→ so liest sich das: Für alle a aus M legen wir die Teilmenge T_a derart fest, dass zu ihr alle Elemente b aus M gehören, die mit a in der Relation R stehen.
\bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace
→ Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt a jetzt b und b dafür x.

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Im folgenden soll bewiesen werden, dass die so gewonnenen Teilmengen von M eine Klasseneinteilung von M sind. Ergänzen Sie dementsprechend die folgenden Ausführungen:

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Minuspunkte für eine falsche Antwort:
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1. Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: R ist eine
Das bedeutet:
(R) R ist
(S) R ist
(T) R ist

2. Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von \ M in die Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist eine von \ M.
Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:
(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen \ T_i und \ T_j ist die
(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist die Menge
(0) Weder \ T_1 noch \ T_2 noch irgendeine andere der Mengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist .

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