Quiz der Woche: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Mai 2010, 16:54 Uhr

Es sei $\ R$ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $\ M$ . Wir zerlegen $\ M$ derart in Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ , dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von $\ M$ , die in der Relation $\ R$ zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von $\ M$ in die Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist eine Klasseneinteilung von $\ M$ .

Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

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Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

$\bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace$

→

so liest sich das: Für alle $a$ aus $M$ legen wir die Teilmenge $T_a$ derart fest, dass zu ihr alle Elemente $b$ aus $M$ gehören, die mit $a$ in der Relation $R$ stehen.

$\bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace$

→

Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt $a$ jetzt $b$ und $b$ dafür $x$ .

Voraussetzung: $R$ ist eine

Das bedeutet:

(R) $R$ ist

(S) $R$ ist

(T) $R$ ist

Behauptung: Die Einteilung von $\ M$ in die Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist eine von $\ M$ .

Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:

(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen $\ T_i$ und $\ T_j$ ist die

(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist die Menge

(0) Weder $\ T_1$ noch $\ T_2$ noch irgendeine andere der Mengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist .

Punkte: 0 / 0

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-Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.
+Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.<br />
+'''Satz:''' <br />Die Zerlegung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>\ M</math>.
-<div class="zuordnungs-quiz">
+[[Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen]]
-<big>'''Übung zur Generierung einer Klasseneinteilung entsprechend obiger Idee.'''</big><br>
-Wir gehen von der folgenden Menge <math> \ M</math> aus: <br> <math>\lbrace</math>-26, 17, 75, -40, -13, 17, -55, -15, 7, -35, 95, 65, -9, 40, 3, 0,91, 70, -62, -22, 12, 26, 31,33, 50, -15, -100, -83, -61, -17 <math>\rbrace</math> <br>
-Die Relation <math>\ R</math> sei wie folgt festgelegt: Zwei Zahlen aus <math>\ M</math> stehen in Relation zueinander, wenn sie bei Division durch 4 denselben Rest lassen. Da als Reste nur die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in Frage kommen wird <math>\ M</math> in 4 verschiedene Klassen entsprechend dieser Relation eingeteilt. Die Zahlen -40, 17, -26 und 75 gehören dementsprechend jeweils in eine eigene Klasse. Orden Sie die restlichen Zahlen durch Ziehen mit der Maus den richtigen Klassen zu.
-{|
-| -40 || 40 || 0 || 12 || -100
-|-
-| 17 || 17 || -55 || -15 || -35 || 65 || 33 || -15 || -83
-|-
-| -26 || 70 || -62 || -22 || 26 || 50
-|-
-| 75 || -13 || 7 || 95 || -9 || 3 || 91 || 31 || -61 || -17
-|}
-</div>
 <quiz>
 <big>'''Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.'''</big><br>
-{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus <math>\ M</math> zu indizieren. Unter der Klasse <math>\ T_a</math> verstehen wir dann alle Elemente von <math>\ M</math>, die mit dem Element <math>\ a</math> aus M in der Relation <math>\ R</math> stehen.}
+{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus <math>\ M</math> zu indizieren. Unter der Klasse <math>\ T_a</math> verstehen wir dann alle Elemente von <math>\ M</math>, die mit dem Element <math>\ a</math> aus M in der Relation <math>\ R</math> stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?}
-+ Hallo
++ <math> \bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace </math>
--Test
+|| so liest sich das: Für alle <math>a</math> aus <math>M</math> legen wir die Teilmenge <math>T_a</math> derart fest, dass zu ihr alle Elemente <math>b</math> aus <math>M</math> gehören, die mit <math>a</math> in der Relation <math>R</math> stehen.
-</quiz>
++ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
+|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.
-Im folgenden soll bewiesen werden, dass die so gewonnenen Teilmengen von <math>M</math> eine Klasseneinteilung von <math>M</math> sind. Ergänzen Sie dementsprechend die folgenden Ausführungen:
+{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
-<quiz>
-{ Überlegungen zur Voraussetzung
 | type="{}" }
 <u>Voraussetzung:</u> <math>R</math> ist eine  { Äquivalenzrelation }
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 (S) <math>R</math> ist { symmetrisch }
 (T) <math>R</math> ist  { transitiv }
-</quiz>
-<quiz>
+{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
-{ Überlegungen zur Behauptung
 | type="{}" }
 <u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.

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