Quiz der Woche: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.
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Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.<br />
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'''Satz:''' <br />Die Zerlegung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>\ M</math>.
  
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<div class="zuordnungs-quiz">
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[[Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen]]
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<big>'''Übung zur Generierung einer Klasseneinteilung entsprechend obiger Idee.'''</big><br>
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Wir gehen von der folgenden Menge <math> \ M</math> aus: <br> <math>\lbrace</math>-26, 17, 75, -40, -13, 17, -55, -15, 7, -35, 95, 65, -9, 40, 3, 0,91, 70, -62, -22, 12, 26, 31,33, 50, -15, -100, -83, -61, -17 <math>\rbrace</math> <br>
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Die Relation <math>\ R</math> sei wie folgt festgelegt: Zwei Zahlen aus <math>\ M</math> stehen in Relation zueinander, wenn sie bei Division durch 4 denselben Rest lassen. Da als Reste nur die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in Frage kommen wird <math>\ M</math> in 4 verschiedene Klassen entsprechend dieser Relation eingeteilt. Die Zahlen -40, 17, -26 und 75 gehören dementsprechend jeweils in eine eigene Klasse. Orden Sie die restlichen Zahlen durch Ziehen mit der Maus den richtigen Klassen zu.
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| -40 || 40 || 0 || 12 || -100
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| 17 || 17 || -55 || -15 || -35 || 65 || 33 || -15 || -83
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| -26 || 70 || -62 || -22 || 26 || 50
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|-
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| 75 || -13 || 7 || 95 || -9 || 3 || 91 || 31 || -61 || -17
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+ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
 
+ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
 
|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.
 
|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.
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<big>'''Im folgenden soll bewiesen werden, dass die so gewonnenen Teilmengen von <math>M</math> eine Klasseneinteilung von <math>M</math> sind. Ergänzen Sie dementsprechend die folgenden Ausführungen:'''</big>
 
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{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
 
{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
 
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(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }  
 
(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }  
 
(T) <math>R</math> ist  { transitiv }
 
(T) <math>R</math> ist  { transitiv }
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{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
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{ Überlegungen zur Behauptung
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<u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.
 
<u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.

Aktuelle Version vom 16. Mai 2010, 16:54 Uhr

Es sei \ R ein Äquivalenzrelation auf der Menge \ M. Wir zerlegen \ M derart in Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ..., dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von \ M, die in der Relation \ R zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von \ M in die Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist eine Klasseneinteilung von \ M.

Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

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Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus \ M zu indizieren. Unter der Klasse \ T_a verstehen wir dann alle Elemente von \ M, die mit dem Element \ a aus M in der Relation \ R stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

\bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace
→ so liest sich das: Für alle a aus M legen wir die Teilmenge T_a derart fest, dass zu ihr alle Elemente b aus M gehören, die mit a in der Relation R stehen.
\bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace
→ Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt a jetzt b und b dafür x.

2. Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: R ist eine
Das bedeutet:
(R) R ist
(S) R ist
(T) R ist

3. Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von \ M in die Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist eine von \ M.
Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:
(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen \ T_i und \ T_j ist die
(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist die Menge
(0) Weder \ T_1 noch \ T_2 noch irgendeine andere der Mengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist .

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