Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. Dezember 2011, 18:05 Uhr

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$

Vor.: $\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C \wedge A,B,C\in E$ $\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace$
Beh.: $\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
Beweis:

Schritt	Begründung
(1) $\operatorname{koll}(A, B, C)$	Vorr
(2) $\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)$	Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
(3)Fall 1: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{BC}=\phi$ $\overline{AB} c\overline{AC}$ $\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}$ Behaupt stimmt	verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
Fall 2: $\operatorname(Zw) (B, C, A)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}$ Wiederspruch zur Vorr
Fall 3: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi$ oder: g $\cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi$ Wiederspruch zur Vorr
(4) $\exists P : P \operatorname{nkoll}(A, B, C)$	A I/3
(5) $\overline{ABP}$	AI/1
(6) $\overline{BCP}$	AI/1
(7) $\overline{ACP}$	AI/1
(8) Fall 1: $P\in g$ betrachte ich nachher $P\notin g$
(9) $\ g \cap \overline{AB}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H}\right\} oder:\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {H} \right\}$	Axiom von Pasch ,(5)
(10) $\ g \cap \overline{BC} =\phi \Rightarrow entweder:g \cap \overline{BP} =\phi \wedge g \cap \overline{CP} =\phi oder: <math>\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {S} \right\} \wedge <math>\ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\}$	Axiom von Pasch ,(6)
(11) $\ g \cap \overline{AC}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entwerder: \ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\} oder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H} \right\}$	Axiom von Pasch ,(7)
(12) $\left\| AB \right\| +\left\| BC \right\| =\left\| AC \right\|$	(3)
(13) $\overline{AB} c\overline{AC}$	(12)
(14) $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}$	(9),10),(11),(13)
Fall 2 von (7) analog nur mit $\overline{AP} \in g$

Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--RicRic 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)

Die Argumentation für die einzelnen Fälle ist mir noch nicht ganz klar. Ich habe da etwas anders argumentiert, jedoch auch in diese drei Fälle unterschieden.Da es mir leider völlig rätselhaft ist, wie ich diese Tabelle hier erstellen soll, da mir dieses Programm überhaupt nicht liegt, versuche ich das einfach mal schriftlich zu erklären.

Ich habe die einzelnen Fälle zum Widerspruch geführt, indem ich bei den einzelnen Annahmen ( Beispielsweise: zw(A,B,C) ) anhand der Dreiecksungleichung geschlossen habe, dass dementsprechend AB + BC = AC gelten müsse. Zuvor haben wir gesagt, es existiert ein Punkt P mit P element AB und P element g (Definition Schnitt). Da P element AB ist muss es nun auch element AC sein (wegen der Dreiecksungleichung). Ich hoffe, ich konnte diese Idee soweit nachvollziehbar rüberbringen :) Ganz ähnlich habe ich dann in den anderen Fällen argumentiert. Da nach dem speichern mal wieder Alles ganz falsch da stand, musste ich leider die Betragsstriche etc weglassen. An dieser Stelle sei erwähnt, dass sich sicherlich viel mehr Leute an den Lösungsdarstellungen beteiligen würden, wenn dies nicht so kompliziert wäre und so lange dauern würde. --Miriam 13:01, 10. Dez. 2011 (CET)

Mit Hilfe der TEX-Box (erstes Symbol oben) geht das einigermaßen mit den Formeln, aber Sie
können gerne auch einfach ihre Lösung auf Papier z. B. abfotografieren und als Bild hier
  reinstellen, das geht schnell--Schnirch 17:51, 11. Dez. 2011 (CET)

Vor.: $\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E$ $\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace$
Beh.: $\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
Beweis:

Schritt	Begründung
(1) $\operatorname{koll}(A, B, C)$	Vorr
(2) $\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)$	Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
(3)Fall 1: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{BC}=\phi$ $\overline{AB} c\overline{AC}$ $\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}$ Behaupt stimmt	verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
Fall 2: $\operatorname(Zw) (B, C, A)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}$ Wiederspruch zur Vorr
Fall 3: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi$ oder: g $\cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi$ Wiederspruch zur Vorr

zweier Versuch! Ich denke der Beweis ist so schon eindeutig. Was meint Ihr?--RicRic 21:22, 12. Dez. 2011 (CET)

Zwischenbeweis, $\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \overline{AB} c \overline{AC}$

Bew.:

Überschrift 1	Überschrift 2
(1) $X\in \overline{AB}$
(2) $X=A\ \vee X=B \vee X\operatorname(Zw) (A, X, B)$	(1), Def. Strecke
(3) $X=A \Rightarrow X\in \overline{AC}$	trivial, (2)
(4) $X=B \Rightarrow X\in \overline{AC}$	(2), da Zw(A,B,C) muss der Abstand von A nach B kleiner sein als der Abstand von A nach C
(5) $X\operatorname(Zw) (A, X, B)$ zu Zeigen $(Zw) (A, X, C)$ koll(A,X,C)	Dreiecksungleichung, (2)
(6) $\overline{AB} c \overline{AC}$	(5),(4),(3)

--RicRic 21:59, 12. Dez. 2011 (CET)

Also ehrlich gesagt, kann ich eure Gedankengänge nur teilweise nachvollziehen. Die Fallunterscheidung scheint mir logisch, aber was wollt ihr eigentlich beweisen?
Fall 2 ist so nicht richtig. Es gibt nämlich zwei Möglichkeiten der Zwischenrelation, so dass die Voraussetzung gilt. Hier hilft sicher eine Skizze. (Das Geschriebene gilt sowohl für RicRics Beweise als auch für Miriam.)--Tutorin Anne 15:13, 14. Dez. 2011 (CET)

Wieso ist Fall2 falsch? Hier entsteht doch ein Wiederspruch, somti kann der nicht sein, aber die anderen Beiden Fälle sind möglich und belegen die Behauptung.
Wir (sag ich einfach, Miriam wenn du es anders siehst schreib es) versuchen damit zu zeigen, dass ein Punkt immer nur zwischen einem anderen liegen kann und da die drei Punke koll sind. Zwei nicht identische Graden können höchstens einen Schnittpunkt haben, somit schneidet die eine Gerade auf der die drei Punkte liegen die ander Gerade g in genau einen Punkt, und dieser kann ja nur an einer Stelle sein, also zwischendrin, somit dennke ich lässt sich diese Behauptung beweisen.
--RicRic 20:34, 14. Dez. 2011 (CET)

Vor.: $\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E$ $\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace$
Beh.: $\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
Beweis:

Schritt	Begründung
(1) $\operatorname{koll}(A, B, C)$	Vorr
(2) $\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)$	Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
(3)Fall 1: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{BC}=\phi$ $\overline{AB} c\overline{AC}$ $\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}$ Behaupt stimmt	verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
Fall 2: $\operatorname(Zw) (B, C, A)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}$ Beh korrekt.
Fall 3: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi$ oder: g $\cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi$ Wiederspruch zur Vorr in entweder, somit muss oder gelten; Beh korrekt.

Dritter Versuch.

Fall 1:

Fall 2:

--RicRic 20:34, 14. Dez. 2011 (CET)
Bei deiner Fall 2 Skizze sieht man doch, dass die Voraussetzung erfüllt ist und die Behauptung gilt. Warum ist dann innerhalb deines Beweises immer ein Widerspruch? --Tutorin Anne 11:43, 21. Dez. 2011 (CET)
Oh hatte ich noch nicht geändet, da ich dachte es kann immer nur ein Fall zutreffen. Also in zwei Fällen kein Wiederspruch, somit Behauptung belegt,oder?--RicRic 21:15, 21. Dez. 2011 (CET)

___________________________________

Ein ganz neuer Versuch:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$

Vor.: $\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C \wedge A,B,C\in E$ $\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace$
Beh.: $\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$

Beweis:

Überschrift 1	Überschrift 2
(1) $B \in \ gB^{+}$	g ist der Trenner und B eröffnet eine Halbebene
(2) $C \in \ gB^{+}$	Deffiniton Halbebene, die gesamte Strecke enthält keinen Punkt von g, somit liegt die gesamte Srecke $\overline{CB}$ und der Punkt C in dieser Halbebene
(3) $\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	Vorr
(4) $A \not\in \ gB^{+}$	(3) Deffiniton Halbebene Schnittpunkt besteht und A nicht Element g nach Vorr
(5) $\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	(1),(2),(4), Satz eine Halbebene ist eine konvexe Punktmenge. Da die Strecke $\overline{CA}$ muss also einen Schnittpunkt mit g haben, da sich die Punkte A und C in verschiedenen Halbebenen befinden.

--RicRic 18:05, 29. Dez. 2011 (CET)

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />
 <br /><br />
-Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E</math><math>\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br />
+Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C \wedge A,B,C\in E</math><math>\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br />
 Beh.: <math> \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />
 Beweis:<br />
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   Mit Hilfe der TEX-Box (erstes Symbol oben) geht das einigermaßen mit den Formeln, aber Sie<br />können gerne auch einfach ihre Lösung auf Papier z. B. abfotografieren und als Bild hier<br />  reinstellen, das geht schnell--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 17:51, 11. Dez. 2011 (CET)
 <br />
+Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E</math><math>\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br />
+Beh.: <math> \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />
+Beweis:<br />
 {| class="wikitable sortable"
 !Schritt!!Begründung
@@ Zeile 65: / Zeile 69: @@
 |} zweier Versuch! Ich denke der Beweis ist so schon eindeutig. Was meint Ihr?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:22, 12. Dez. 2011 (CET)
+Zwischenbeweis, <math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \overline{AB} c \overline{AC}</math>
+Bew.:
+{| class="wikitable sortable"
+!Überschrift 1!!Überschrift 2
+|-
+| (1)<math>X\in \overline{AB}</math>  ||
+|-
+| (2)<math>X=A\ \vee X=B \vee X\operatorname(Zw) (A, X, B)</math>  || (1), Def. Strecke
+|-
+| (3)<math>X=A \Rightarrow X\in \overline{AC}</math> || trivial, (2)
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+| (4)<math>X=B \Rightarrow X\in \overline{AC}</math>  ||(2), da Zw(A,B,C) muss der Abstand von A nach B kleiner sein als der Abstand von A nach C
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+| (5)<math>X\operatorname(Zw) (A, X, B)</math> <br />zu Zeigen <math>(Zw) (A, X, C)</math><br /> koll(A,X,C)|| Dreiecksungleichung, (2)
+|-
+| (6)<math>\overline{AB} c \overline{AC}</math>|| (5),(4),(3)
+|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:59, 12. Dez. 2011 (CET)
+Also ehrlich gesagt, kann ich eure Gedankengänge nur teilweise nachvollziehen.
+Die Fallunterscheidung scheint mir logisch, aber was wollt ihr eigentlich beweisen?<br />
+Fall 2 ist so nicht richtig. Es gibt nämlich zwei Möglichkeiten der Zwischenrelation, so dass die Voraussetzung gilt. Hier hilft sicher eine Skizze. (Das Geschriebene gilt sowohl für RicRics Beweise als auch für Miriam.)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:13, 14. Dez. 2011 (CET)<br />
+<br />
+Wieso ist Fall2 falsch? Hier entsteht doch ein Wiederspruch, somti kann der nicht sein, aber die anderen Beiden Fälle sind möglich und belegen die Behauptung.
+<br />
+Wir (sag ich einfach, Miriam wenn du es anders siehst schreib es) versuchen damit zu zeigen, dass ein Punkt immer nur zwischen einem anderen liegen kann und da die drei Punke koll sind. Zwei nicht identische Graden können höchstens einen Schnittpunkt haben, somit schneidet die eine Gerade auf der die drei Punkte liegen die ander Gerade g in genau einen Punkt, und dieser kann ja nur an einer Stelle sein, also zwischendrin, somit dennke ich lässt sich diese Behauptung beweisen.<br />--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:34, 14. Dez. 2011 (CET)
+<br /><br />
+Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E</math><math>\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br />
+Beh.: <math> \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />
+Beweis:<br />
+{| class="wikitable sortable"
+!Schritt!!Begründung
+|-
+| (1)<math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || Vorr
+|-
+| (2)<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)</math>  || Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
+|-
+| (3)Fall 1: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{BC}=\phi</math><br /><math>\overline{AB} c\overline{AC}</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}</math> Behaupt stimmt || verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
+|-
+| Fall 2: <math>\operatorname(Zw) (B, C, A)</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}</math> <br /> Beh korrekt.
+|-
+| Fall 3: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi</math> oder: g <math>\cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math><br />Wiederspruch zur Vorr in entweder, somit muss oder gelten; Beh korrekt.
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+|} Dritter Versuch.
+Fall 1:
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+Fall 2:
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+<br />--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:34, 14. Dez. 2011 (CET)<br />
+Bei deiner Fall 2 Skizze sieht man doch, dass die Voraussetzung erfüllt ist und die Behauptung gilt. Warum ist dann innerhalb deines Beweises immer ein Widerspruch? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:43, 21. Dez. 2011 (CET)<br />
+Oh hatte ich noch nicht geändet, da ich dachte es kann immer nur ein Fall zutreffen. Also in zwei Fällen kein Wiederspruch, somit Behauptung belegt,oder?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:15, 21. Dez. 2011 (CET)
+<br /><br />
+___________________________________
+<br /><br />
+==== Ein ganz neuer Versuch: ====
+Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /><br />
+<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />
+<br /><br />
+Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C \wedge A,B,C\in E</math><math>\wedge \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br />
+Beh.: <math> \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />
+Beweis:
+{| class="wikitable sortable"
+!Überschrift 1!!Überschrift 2
+|-
+| (1) <math>B \in \ gB^{+}</math>  || g ist der Trenner und B eröffnet eine Halbebene
+|-
+| (2) <math>C \in \ gB^{+}</math> || Deffiniton Halbebene, die gesamte Strecke enthält keinen Punkt von g, <br />somit liegt die gesamte Srecke <math>\overline{CB}</math> und der Punkt C in dieser Halbebene
+|-
+| (3)<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace</math> ||  Vorr
+|-
+| (4) <math>A \not\in  \ gB^{+}</math> || (3) Deffiniton Halbebene Schnittpunkt besteht und A nicht Element g nach Vorr
+|-
+| (5) <math>\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace</math> || (1),(2),(4), Satz eine Halbebene ist eine konvexe Punktmenge.<br />Da die Strecke <math>\overline{CA}</math> muss also einen Schnittpunkt mit g haben, da sich die Punkte A und C in verschiedenen Halbebenen befinden.
+|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 18:05, 29. Dez. 2011 (CET)
 [[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. Dezember 2011, 18:05 Uhr

Ein ganz neuer Versuch:

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