Lösung von Aufgabe 3.3 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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(Aufgabe 3.3)
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==Aufgabe 3.3==
 
==Aufgabe 3.3==
'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit  |AC|< |BC|  < |AB|  sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
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Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
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a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
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b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
 
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Beweis 1)
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
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Beweis 2)
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|  dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />
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[[Category:Einführung_S]]
 
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Version vom 30. April 2012, 12:54 Uhr

Aufgabe 3.3

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?