Lösung von Aufgabe 3.3 S (SoSe 12)

Aufgabe 3.3

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?

Lösungsvorschlag 1

a)
Kontraposition $\neg B \Rightarrow \neg A$
Wenn zwei Geraden nicht nur höchstens einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie identisch.

a) Ich würde vielleicht anstatt "nicht nur höchstens" , "mindestens einen Punkt gemeinsam haben" sagen. Daraus würde ich sagen folgt, dass sie identisch sind oder sich in einem Punkt schneiden, wenn sie wirklich nur einen Punkt dann gemeinsam haben.

b) sehe ich genauso

--Funkdocta 16:23, 6. Mai 2012 (CEST)

a) Hier würde ich sagen:"Wenn zwei Geraden mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie identisch." Höchstens heißt ja, dass sie entweder 0 oder 1 Punkt gemeinsam haben.
Das "Gegenteil" davon würde ich als mehr als einen Punkt meinen.
--RitterSport 20:27, 6. Mai 2012 (CEST)

b)
Annahme: g und h sind nicht identisch und haben mehr als einen Punkt gemeinsam. --Goliath 16:14, 3. Mai 2012 (CEST)

Ist die Annahme nicht nur "Die beiden Geraden g und h sind nicht identisch"? Und die Voraussetzung wäre dann "G und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam". --RitterSport 20:39, 6. Mai 2012 (CEST)

@RitterSport: Ich hatte mir in der Vorlesung aufgeschrieben, dass die Annahme = $A \wedge \neg B$ ist. Analog hab ich das dann gemacht. $A$ wäre dann "g und h sind nicht identisch" und $\neg B$ wäre dann "mehr als einen Punkt gemeinsam". So habe ich es zumindest verstanden! :-) --Goliath 22:28, 6. Mai 2012 (CEST)

Bemerkungen Zum Lösungsvorschlag 1 von M.G.

Man kann die Sache ziemlich streng formal abarbeiten. Für die Kontraposition vertauscht man die Voraussetzung und Behauptung und negiert diese dann einzeln.

Implikation:	Wenn $a$, dann $b$.
Umkehrung:	Wenn $b$, dann $a$.
Kontraposition:	Wenn $\neg b$, dann $\neg a$.

Mit $a$ und $b$ sind mathematische Aussagen.

Es seien $g$ und $h$ zwei Geraden.

Aussage $a$: $g$ und $h$ sind nicht identisch.
Aussage $b$: $g$ und $h$ haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Für die Kontraposition kann man sich die Sache wieder sehr einfach machen und $a$ und $b$ stur negieren:

Negation der Aussage $b$: Es gilt nicht: $g$ und $h$ haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Negation der Aussage $a$: Es gilt nicht: $g$ und $h$ sind nicht identisch.

Wir fassen zur Kontraposition zusammen:
Wenn nicht gilt, dass $g$ und $h$ höchstens einen Punkt gemeinsam haben, dann gilt auch nicht, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

Das wäre die völlig korrekte Kontraposition unserer betrachteten Implikation. Sie hört sich aber ein wenig nach Rio Reiser ("Keine Macht für Niemand") oder den braven Soldaten Schwejk von Jaroslav Hasek ("Also, schau aber bestimmt, daß du nicht keine Unterhaltung zustand bringst, bis ich hinkomm!") an. Die doppelte Verneinung erschwert das Verständnis dafür, was die Kontraposition eigentlich aussagt. Verboten ist sie in der Mathematik jedoch nicht.

Wollen wir die Kontraposition beweisen, macht es Sinn, die doppelten Verneinungen aufzulösen:

Aus "nicht nicht identisch" wird identisch. Das wurde in obigen Lösungen der Aufgabe gleich eingearbeitet.

Aus "nicht höchstens einen Punkt gemeinsam" wird ... denken Sie noch mal drüber nach. Überlegen Sie, was es für die Geraden $g$ und $h$ bedeutet, höchstens einen Punkt gemeinsam haben zu dürfen. Wie viele Punkte könnten $g$ und $h$ denn gemeinsam haben, wenn Sie maximal (anderes Wort für höchstens) einen Punkt gemeinsam haben dürfen?

Goliath hat "nicht höchstens einen Punkt gemeinsam" in seiner Antwort zu b) richtig verkürzt formuliert.--*m.g.* 17:23, 6. Mai 2012 (CEST) Es wäre auch möglich mit dem Wort mindestens zu operieren. Wäre "mindestens ein Punkt gemeinsam" äquivalent zu "nicht höchstens einen Punkt gemeinsam"?

Ich finde nicht, dass "nicht höchstens" äquivalent zu "mindestens" ist. --RitterSport 20:34, 6. Mai 2012 (CEST)

@RitterSport Kann man so nicht sagen, es kommt drauf an, was auf das "mindestens" folgt.--*m.g.* 12:50, 7. Mai 2012 (CEST)

@M.G. ich hätte gesagt, dass "nicht höchstens einen Punkt gemeinsam" äquivalent ist zu "mindestens zwei Punkte gemeinsam". --Goliath 17:18, 7. Mai 2012 (CEST)

@Goliath perfekt--*m.g.* 17:50, 7. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 2:

Menge1: g

Menge2: h

Menge1 = Menge 2 oder $\ Menge1 \cap Menge2$ --Hauleri 13:35, 6. Mai 2012 (CEST)

Bemerkungen zu Lösungsvorschlag 2 von M.G.

@hauleri Schön, dass Sie den Formalismus der Mengenlehre verwenden wollen. Da könnte passen, da es ja um das Schneiden zweier Punktmengen (Geraden) geht. Beachten Sie jedoch: Ein Implikation verknüpft zwei Aussagen: Wenn Aussage a, dann Aussage b. Aussage a wäre unsere Voraussetzung, Aussage b nennen wir die Behauptung. Ob irgendeine "Formulierung" eine Aussage im Sinne der mathematischen Logik ist, erkennt man daran, dass diese Formulierung entweder wahr oder falsch ist. Sie wenden eine Operation auf zwei Mengen an, und bilden den Durchschnitt dieser beiden Mengen: $M_1 \cap M_2$. Schön, dass ist sowas wie $3 + 4$. Da fehlt einfach noch ein wenig für eine Aussage. Z.B. $3+4=8$ (Aussage, die falsch ist) oder $3+4=7$ (wahre Aussage) oder eben $\exist S: M_1 \cap M_2 = \{S\}$ oder vielleicht auch $M_1 \cap M_2 = \empty$ ...--*m.g.* 16:32, 6. Mai 2012 (CEST)

Ein Gespräch nach der Veranstaltung "Selbstverteidgung und mentales Training" hat mir die Augen geöffnet, wie Sie teilweise denken. Mit der Zeichenfolge $M_1 \cap M_2$ meint Userin/User Hauleri wahrscheinlich $M_1$ schneidet $M_2$, also $M_1$ und $M_2$ haben einen Punkt gemeinsam. Nun wurde in der Mathematik das Zeichen $\cap$ jedoch als Operationsteichen festgelegt: $M_1 \cap M_2$ heißt, "Bilde die Schnittmenge der beiden Mengen $M_1$ und $M_2$". Was dabei herauskommt ist zunächst offen.--*m.g.* 12:48, 7. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 3:

Umkehrung: Wenn zwei Geraden höchstens einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie nicht identisch.
In der Aufgabe wurde nicht die Umkehrung, sondern die Kontraposition verlangt. --Tutor Andreas 13:26, 22. Mai 2012 (CEST)

Aussagen
A: $g \neq h$
B: max einen gemeinsam Schnittpunkt
A=>B und B=>A

Beweisidee durch Widerspruch Annahme nicht B => A
Eine Annahme ist keine Implikation, wie es hier beschrieben wurde, sondern eine Annahme hat immer die Form $\neg B \wedge A$. In der Veranstaltung wird die Behauptung aber oft nur als $\neg B$ aufgeschrieben, da man die Voraussetzung A ja vorher meist schon notiert hat.--Tutor Andreas 13:19, 22. Mai 2012 (CEST)

Wenn zwei Geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind sie nicht identisch. Widersprch Die einzige Möglichkeit, dass zwei Geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt haben, wäre, dass sie aufeinander liegen. Dies ist aber durch die Voraussetzung ausgeschlossen --KeinKurpfälzer 20:21, 6. Mai 2012 (CEST)