Lösung von Aufgabe 3.3 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. Mai 2012, 16:27 Uhr

Aufgabe 3.3

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?

Lösungsvorschlag 1

a)
Kontraposition
Wenn zwei Geraden nicht nur höchstens einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie identisch.

a) Ich würde vielleicht anstatt "nicht nur höchstens" , "mindestens einen Punkt gemeinsam haben" sagen. Daraus würde ich sagen folgt, dass sie identisch sind oder sich in einem Punkt schneiden, wenn sie wirklich nur einen Punkt dann gemeinsam haben.

b) sehe ich genauso

--Funkdocta 16:23, 6. Mai 2012 (CEST)

b)
Annahme: g und h sind nicht identisch und haben mehr als einen Punkt gemeinsam. --Goliath 16:14, 3. Mai 2012 (CEST)

Bemerkungen Zum Lösungsvorschlag 1 von M.G.

Man kann die Sache ziemlich streng formal abarbeiten. Für die Kontraposition vertauscht man die Voraussetzung und Behauptung und negiert diese dann einzeln.

Implikation:	Wenn , dann .
Umkehrung:	Wenn , dann .
Kontraposition:	Wenn , dann .

Mit und sind mathematische Aussagen.

Es seien und zwei Geraden.

Aussage : und sind nicht identisch.
Aussage : und haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Für die Kontraposition kann man sich die Sache wieder sehr einfach machen und und stur negieren:

Negation der Aussage : Es gilt nicht: und haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Negation der Aussage : Es gilt nicht: und sind nicht identisch.

Wir fassen zur Kontraposition zusammen:
Wenn nicht gilt, dass und höchstens einen Punkt gemeinsam haben, dann gilt auch nicht, dass und nicht identisch sind.

Das wäre die völlig korrekte Kontraposition unserer betrachteten Implikation. Sie hört sich aber ein wenig nach Rio Reiser ("Keine Macht für Niemand") oder den braven Soldaten Schwejk von Jaroslav Hasek ("Also, schau aber bestimmt, daß du nicht keine Unterhaltung zustand bringst, bis ich hinkomm!") an. Die doppelte Verneinung erschwert das Verständnis dafür, was die Kontraposition eigentlich aussagt. Verboten ist sie in der Mathematik jedoch nicht.

Wollen wir die Kontraposition beweisen, macht es Sinn, die doppelten Verneinungen aufzulösen:

Aus "nicht nicht identisch" wird identisch. Das wurde in obigen Lösungen der Aufgabe gleich eingearbeitet.

Aus "nicht höchstens einen Punkt gemeinsam" wird ... denken Sie noch mal drüber nach. Überlegen Sie, was es für die Geraden und bedeutet, höchstens einen Punkt gemeinsam haben zu dürfen. Wie viele Punkte könnten und denn gemeinsam haben, wenn Sie maximal (anderes Wort für höchstens) einen Punkt gemeinsam haben dürfen?

Goliath hat "nicht höchstens einen Punkt gemeinsam" in seiner Antwort zu b) richtig verkürzt formuliert.--*m.g.* 17:23, 6. Mai 2012 (CEST) Es wäre auch möglich mit dem Wort mindestens zu operieren. Wäre "mindestens ein Punkt gemeinsam" äquivalent zu "nicht höchstens einen Punkt gemeinsam"?

Lösungsvorschlag 2:

Menge1: g

Menge2: h

Menge1 = Menge 2 oder --Hauleri 13:35, 6. Mai 2012 (CEST)

Bemerkungen zu Lösungsvorschlag 2 von M.G.

@hauleri Schön, dass Sie den Formalismus der Mengenlehre verwenden wollen. Da könnte passen, da es ja um das Schneiden zweier Punktmengen (Geraden) geht. Beachten Sie jedoch: Ein Implikation verknüpft zwei Aussagen: Wenn Aussage a, dann Aussage b. Aussage a wäre unsere Voraussetzung, Aussage b nennen wir die Behauptung. Ob irgendeine "Formulierung" eine Aussage im Sinne der mathematischen Logik ist, erkennt man daran, dass diese Formulierung entweder wahr oder falsch ist. Sie wenden eine Operation auf zwei Mengen an, und bilden den Durchschnitt dieser beiden Mengen: . Schön, dass ist sowas wie . Da fehlt einfach noch ein wenig für eine Aussage. Z.B. (Aussage, die falsch ist) oder (wahre Aussage) oder eben oder vielleicht auch ...--*m.g.* 16:32, 6. Mai 2012 (CEST)