Lösung von Aufgabe 5.1 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Kommentar zu Lösungsvorschlag 1 von --*m.g.* 18:48, 17. Mai 2012 (CEST))
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#Überhaupt einer der drei kollinearen Punkte liegt zwischen den beiden anderen (Existenz),
 
#Überhaupt einer der drei kollinearen Punkte liegt zwischen den beiden anderen (Existenz),
 
#Kein weiterer Punkt liegt zwischen den beiden anderen. Konkreter: Wenn wir etwa mit <math>B</math> den Punkt gefunden hätten der von den drei Punkten zwischen den beiden anderen (also in diesem Fall zwischen <math>A</math> und <math>C</math>) liegt, dann liegt weder <math>C</math> zwischen <math>A</math> und <math>B</math> noch <math>A</math> zwischen <math>B</math> und <math>C</math> (Eindeutigkeit).
 
#Kein weiterer Punkt liegt zwischen den beiden anderen. Konkreter: Wenn wir etwa mit <math>B</math> den Punkt gefunden hätten der von den drei Punkten zwischen den beiden anderen (also in diesem Fall zwischen <math>A</math> und <math>C</math>) liegt, dann liegt weder <math>C</math> zwischen <math>A</math> und <math>B</math> noch <math>A</math> zwischen <math>B</math> und <math>C</math> (Eindeutigkeit).
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*Die Annahme von Gilmore sagt nun nichts anderes aus als: Wenn der Punkt <math>B</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math> liegt, dann liegt <math>B</math> auch zwischen den Punkten <math>C</math> und <math>A</math>. Das hat nichts mit der Aussage des Satzes zu tun.
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*Es ist klar, dass die Beweisführung unter diesen Umständen daneben gehen muss. Am Anfang des Beweises steht, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt. Warum sollte das so sein? Am Ende des Beweises ergibt sich dann, dass<math> A</math>, <math>B</math> und<math> C</math> drei Punkte ein und derselben Geraden sind. Das war doch die Voraussetzung des Satzes überhaupt. Wir erinnern uns: Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> Punkte ein und derselben Geraden sind (allgemeiner: Von drei Punkten ein und derselben Geraden ...), dann ... . Also wie durch Zauber haben wir zu Anfang der Beweisführung drei Punkte von denen <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt und am Ende kommt heraus, dass die drei Punkte Punkte ein und derselben Geraden sind. Zusammengefasst: Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> Punkte ein und derselben geraden sind, dann sind <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> Punkte ein und derselben Geraden: Wieder mal: Wenn du kein iPhone hast, dann hast du kein iPhone.

Version vom 17. Mai 2012, 18:20 Uhr

Die Aufgabe

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.



Lösungsvorschlag 1

          Vor.: koll(A,B,C) und liegen auf einer Geraden g
          Beh.: |AB| + |BC|  = |AC|
          Ann.: Zw(A,B,C) \Rightarrow  Zw(C,B,A) \wedge A,B,C \in  g

      dir.Bew.: Zw(A,B,C)
                |AB| + |BC|  = |AC|
                |CB| + |BA|  = |CA|
                \Rightarrow  Zw(A,B,C)
                \Rightarrow  koll(A,B,C)
                \Rightarrow  A,B,C \in  g

Der Satz stimmt: B liegt zwischen A und C --Gilmore 18:34, 17. Mai 2012 (CEST)

Kommentar zu Lösungsvorschlag 1 von --*m.g.* 18:48, 17. Mai 2012 (CEST)

  • \operatorname{koll}\left(A,B,C\right) bedeutet, dass die drei Punkte auf ein und derselben Geraden liegen, alles was hinter dem und kommt ist somit "doppelt gemoppelt", also weglassen.
  • Die Behauptung: \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right| spiegelt die Aussage des Satzes nicht korrekt wider:
Der Satz hat eigentlich zwei Behauptungen:
  1. Überhaupt einer der drei kollinearen Punkte liegt zwischen den beiden anderen (Existenz),
  2. Kein weiterer Punkt liegt zwischen den beiden anderen. Konkreter: Wenn wir etwa mit B den Punkt gefunden hätten der von den drei Punkten zwischen den beiden anderen (also in diesem Fall zwischen A und C) liegt, dann liegt weder C zwischen A und B noch A zwischen B und C (Eindeutigkeit).
  • Die Annahme von Gilmore sagt nun nichts anderes aus als: Wenn der Punkt B zwischen den Punkten A und C liegt, dann liegt B auch zwischen den Punkten C und A. Das hat nichts mit der Aussage des Satzes zu tun.
  • Es ist klar, dass die Beweisführung unter diesen Umständen daneben gehen muss. Am Anfang des Beweises steht, dass B zwischen A und C liegt. Warum sollte das so sein? Am Ende des Beweises ergibt sich dann, dass A, B und C drei Punkte ein und derselben Geraden sind. Das war doch die Voraussetzung des Satzes überhaupt. Wir erinnern uns: Wenn A, B und C Punkte ein und derselben Geraden sind (allgemeiner: Von drei Punkten ein und derselben Geraden ...), dann ... . Also wie durch Zauber haben wir zu Anfang der Beweisführung drei Punkte von denen B zwischen A und C liegt und am Ende kommt heraus, dass die drei Punkte Punkte ein und derselben Geraden sind. Zusammengefasst: Wenn A, B und C Punkte ein und derselben geraden sind, dann sind A, B und C Punkte ein und derselben Geraden: Wieder mal: Wenn du kein iPhone hast, dann hast du kein iPhone.
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