Lösung von Aufgabe 5.1 S (SoSe 12)

Die Aufgabe

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösungsvorschlag 2 (Neran69)

Lösungsvorschlag 2 von --Neran69 01:34, 18. Mai 2012 (CEST)

           Beweis: Ein Pkt liegt genau zwischen den beiden anderen :
           Voraussetzung: $A$ $\not\equiv$ $B$ $\not\equiv$ $C$ $\wedge$ $A$,$B$,$C$ $\in$ $g$ (paarw. versch und koll)
           Behauptung: $\overline{AB}$ + $\overline{BC}$ = $\overline{AC}$ (ein Pkt, in diesem Fall B, liegt genau zwischen A und C)

           Beweis d. Widerspruch: $\overline{AB}$ + $\overline{BC}$ > $\overline{AC}$ (Annahme, Dreiecksungleichung, $\neg B$)
           $\Rightarrow$ $\overline{ABC}$ ist Dreieck und ein Widerspruch zur Voraussetzung bzgl. koll
           $\Rightarrow$ die Behauptung stimmt!

           Beweis: Kein anderer Pkt liegt dazwischen
           Voraussetzung: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ (s.o.)
           Behauptung: $\overline{BC}$ < $\overline{AC}$ (Annahme, dass A auf jeden Fall nicht zwischen B und C liegt)

           Beweis d. Widerspruch: 
           1. $\overline{BC}$ = $\overline{AC}$ $\Rightarrow$ $A \equiv B$ Widerspruch zur Voraussetzung bzgl. paarw. versch.
           2. $\overline{BC}$ > $\overline{AC}$ $\Rightarrow$ $\overline{BA}$ + $\overline{AC}$ = $\overline{BC}$ $\Rightarrow$ $\operatorname(Zw) (B, A, C)$   Widerspruch zur Voraussetzung $\operatorname(Zw) (A, B, C)$

           Beweis für C äquivalent

Zu Lösungsvorschlag 2 von Neran69:

Hm...Was ist die Behauptung? Sie haben die Behauptung meiner Meinung nach so verstanden: Ein Punkt liegt genau dazwischen, d.h. er liegt auf der Strecke zwischen den beiden anderen Punkten und bildet somit kein Dreieck. Das ist aber nicht gemeint! Gemeint ist: Es kann nur entweder A in der Mitte liegen, oder B oder C. Also es gilt genau EINE von den drei möglichen Zwischenrelationen. Siehe auch Hinweise von m.g.--Buchner 13:31, 18. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 1 (Gilmore)

          Vor.: koll(A,B,C) und liegen auf einer Geraden g
          Beh.: |AB| + |BC|  = |AC|
          Ann.: Zw(A,B,C) $\Rightarrow$ Zw(C,B,A) $\wedge$ A,B,C $\in$ g

      dir.Bew.: Zw(A,B,C)
                |AB| + |BC|  = |AC|
                |CB| + |BA|  = |CA|
                $\Rightarrow$ Zw(A,B,C)
                $\Rightarrow$ koll(A,B,C)
                $\Rightarrow$ A,B,C $\in$ g

Der Satz stimmt: B liegt zwischen A und C --Gilmore 18:34, 17. Mai 2012 (CEST)

Kommentar zu Lösungsvorschlag 1 von --*m.g.* 18:48, 17. Mai 2012 (CEST)

• $\operatorname{koll}\left(A,B,C\right)$ bedeutet, dass die drei Punkte auf ein und derselben Geraden liegen, alles was hinter dem und kommt ist somit "doppelt gemoppelt", also weglassen.
• Die Behauptung: $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ spiegelt die Aussage des Satzes nicht korrekt wider:

Der Satz hat eigentlich zwei Behauptungen:

1. Überhaupt einer der drei kollinearen Punkte liegt zwischen den beiden anderen (Existenz),
2. Kein weiterer Punkt liegt zwischen den beiden anderen. Konkreter: Wenn wir etwa mit $B$ den Punkt gefunden hätten der von den drei Punkten zwischen den beiden anderen (also in diesem Fall zwischen $A$ und $C$) liegt, dann liegt weder $C$ zwischen $A$ und $B$ noch $A$ zwischen $B$ und $C$ (Eindeutigkeit).

• Die Annahme von Gilmore sagt nun nichts anderes aus als: Wenn der Punkt $B$ zwischen den Punkten $A$ und $C$ liegt, dann liegt $B$ auch zwischen den Punkten $C$ und $A$. Das hat nichts mit der Aussage des Satzes zu tun.
• Es ist klar, dass die Beweisführung unter diesen Umständen daneben gehen muss. Am Anfang des Beweises steht, dass $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt. Warum sollte das so sein? Am Ende des Beweises ergibt sich dann, dass$A$, $B$ und$C$ drei Punkte ein und derselben Geraden sind. Das war doch die Voraussetzung des Satzes überhaupt. Wir erinnern uns: Wenn $A$, $B$ und $C$ Punkte ein und derselben Geraden sind, dann ... . Also wie durch Zauber haben wir zu Anfang der Beweisführung drei Punkte von denen $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt und am Ende kommt heraus, dass die drei Punkte Punkte ein und derselben Geraden sind. Zusammengefasst: Wenn $A$, $B$ und $C$ Punkte ein und derselben geraden sind, dann sind $A$, $B$ und $C$ Punkte ein und derselben Geraden: Wieder mal: Wenn du kein iPhone hast, dann hast du kein iPhone.

Nicht entmutigen lassen, und vor allem nicht versuchen irgendwie nach einem Algorithmus zu arbeiten. Formulieren Sie ruhig umgangssprachlich und weniger formal, das formale kommt dann schon.--*m.g.* 19:23, 17. Mai 2012 (CEST)

Ein wenig Hilfe (M.G.)

Teile und Herrsche ist ein Konzept zum Lösen von Problemen. Sie haben eigentlich zwei Probleme:

• Beweisen, dass von A, B und C einer zwischen den beiden anderen liegt.
• Beweisen, dass kein weiterer zwischen den beiden anderen liegt.

Führen Sie entsprechend auch zwei Beweise. Erst zeigen Sie, dass überhaupt einer der drei Punkte zwischen den anderen beiden liegt, dann sagen Sie einfach, dass das der Punkt B sein möge und zweigen durch Widerspruchsbeweis, dass dann z.B. A nicht mehr zwischen B und C liegen kann. Viel Erfolg ins besondere für Neran69, der/die gerade beim Eintippen einer Lösung ist.--*m.g.* 19:40, 17. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 3 (Kopernikus)

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen. Beweisen Sie diesen Satz.
Vor: $A$ $\not\equiv$ $B$ $\not\equiv$ $C\not\equiv A$ $\wedge$ $A$,$B$,$C$ $\in$ $g$ (paarw. versch)

Beh: Zw(A,B,C) oder Zw(B,C,A) oder Zw(C,A,B)

Direkter Beweis:

Beweisschritt	Beweis	Begründung
I	$A$ $\not\equiv$ $B$ $\not\equiv$ $C\not\equiv A$ $\wedge$ $A$,$B$,$C$ $\in$ $g$ (paarw. versch)	Vor:
II	koll(A,B,C)	def. Koll
III	AB| + |BC| = |AC| o.B.d.A	II, Axiom II/3 (Dreiecksungleichung)(an dieser Stelle halte ich es für besser, wenn man sagt, dass eine der Gleichungen aus Axiom II/3 gilt, da man dann im nächsten Schritt sagen kann, dass eine der drei Zwischenrelationen Zw(A,B,C)oder Zw(A,C,B) oder Zw(C,A,B) gilt. Dies entspricht dann deiner Behauptung.--Tutor Andreas 11:51, 19. Jun. 2012 (CEST)
IV	Zw(A,B,C)	Def. II.2 (Zwischenrelation), III, Vor. I
V	Beh. ist war	q.e.d

--Kopernikus 14:19, 20. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 4 (RitterSport)

Ich glaube mein Lösungsvorschlag geht in ähnliche Richtung:
Vor.: koll(A,B,C) und $A \neq B \neq C \neq A$
o.B.d.A nehmen wir an:
Schritt (1): |AB|+|BC|=|AC|
Das dürfen wir, wegen Axiom II/3 und der Vor. (koll(A,B,C))
daraus folgt dann Schritt (2): |AC|>|AB| und |AC|>|BC|, wegen Vor. $A \neq B \neq C \neq A$ und Schritt (1))
Schritt(3) nichtZw(A,C,B) oder nichtZw(B,A,C) (es kann weder A noch B dazwischen liegen) wegen (2)
Schritt(4) Zw(A,B,C) wegen (3)
sorry, wegen der unschönen Lesbarkeit ;)
--RitterSport 16:16, 20. Mai 2012 (CEST)

Dieses o.B.d.A. halte ich an dieser Stelle für sehr fragwürdig, da man ja erst beweisen soll, dass überhaupt eine der Gleichungen aus dem Axiom zutrifft, um dann auf die Zwischenrelation zu schließen. --Tutor Andreas 12:05, 19. Jun. 2012 (CEST) Schritt 3 kann nur aus Schritt 2 gefolgert werden, wenn Zw(A,B,C) gilt. Dies wird aber angenommen. Wie sieht es aus, wenn z.B. Zw(B,A,C) gilt? Die Lösungsidee finde ich eigentlich ganz gut, aber man sollte es noch etwas anders aufschreiben. --Tutor Andreas 12:05, 19. Jun. 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 5 (Wokkow)

Ich möchte im Voraus sagen, dass dies ein Lösungsvorschlag ist, aber ich wusste nicht, wie man das im Geowiki macht, ich bin nur hier hereingekommen. Und außerdem behandelt es Aufgabe 5.1. Echt sorry!

@Wokkow Passt schon, ich habe es hier her kopiert. Damit derjenige, der zunächst nur die Aufgabe haben will und nicht durch andere Lösungsvorschläge kanalisiert werden möchte, diese Möglichkeit auch bekommt, legen wie die Lösungen immer extra in eine datei, Sie brauchen nur auf den Link, der mit Lösung beginnt klicken und schon sind sie dort wo Sie hin --*m.g.* 18:04, 20. Mai 2012 (CEST)wollen.

Vorauss.: $A \neq B \neq C \neq A$ und koll(A,B,C) Beh.: O.B.d.A. Zw(A,B,C)

Beweis der Existenz: Annahme: nicht Zw(A,B,C) 1. d.h. $\overline{AB} + \overline{BC} \neq \overline{AC}$

  (da Annahme und Kontraposition der Zwischenrelation)

2. nkoll(A,B,C)

  (da Kontraposition der Dreiecksungleichung: koll(A,B,C)$\Rightarrow$ O.B.d.A. $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$ )

Widerspruch zur Voraussetzung

Beweis der Eindeutigkeit: Vorauss.: Zw(A,B,C) Beh.: $\neg Zw (A,C,B) und \neg Zw(B,A,C)$ Annahme: Zw(A,C,B) 1.$\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}$

 (da Annahme)

2. d.h. $\overline{AC} < \overline{AB} und \overline{CB} < \overline{AB}$ Widerspruch zur Annahme, da dort gefordert ist: $\overline{AB} < \overline{AC}$

--Wokkow 12:17, 20. Mai 2012 (CEST)

Anmerkung zum Beweis von Wokkow:
Sie haben genau die richtigen Ideen gehabt! Vielleicht können Sie im zweiten Teil den Widerspruch nochmal deutlicher rausstellen, dann ist er leichter nachvollziehbar. Woher wissen Sie, dass $\overline{AC} < \overline{AB}$ ? Welche Axiome haben Sie (wahrscheinlich unbewusst) verwendet?--Buchner 10:54, 22. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 6 (oz44oz)

--Oz44oz 09:00, 21. Mai 2012 (CEST)

Bei dem Beweis der Existenz darf man die Zwischenrelationen und die Gleichungen nicht mit einem mathematischen "Oder" verknüpfen, da ja sonst alle gelten könnten. Es muss ein ausschließendes "Oder" sein. Also besser "oder" in Worten schreiben.--Tutor Andreas 12:08, 19. Jun. 2012 (CEST)

Wenn man sagen will, dass drei Punkte paarweise verschieden sind, dann reicht es nicht aus, dass man $A\neq B \neq C$ schreibt. Als Beispiel $2 \neq 3 \neq 2$. Daran sieht man auch, dass die "Ungleich-Realtion" nicht transitiv ist. Deshalb muss man $A \neq B \neq C \neq A$ schreiben, wenn man sagen möchte, dass A,B,C paarw. verschieden sind. --Tutor Andreas 11:42, 19. Jun. 2012 (CEST)