Zentrische Streckungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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:: <math>Z \not\in g</math> | :: <math>Z \not\in g</math> | ||
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| + | ::::Fall 2.1: <math>\exist T \in g \cap g', T \not\equiv S</math> | ||
| + | ::::trivial, <math>g \equiv g'</math> | ||
| + | ::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math> | ||
| + | ::::Übungsaufgabe | ||
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| + | Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes: | ||
| + | <math>|ZP'| = |ZP|k</math> und <math>|ZQ'| = |ZQ|k</math>.<br /> | ||
| + | Nun gilt: <math>\frac{|ZQ|k} {|ZQ|} = \frac{|ZP|k} {|ZP|} = k </math>.<br /> | ||
| + | Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen | ||
| + | Streckung (also unserer Geraden g') {{Schrift_orange|parallel ist.}} | ||
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Aktuelle Version vom 22. Mai 2012, 22:09 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Zentrische Streckungen
Begriff der zentrischen Streckung
Definition II.07: (zentrische Streckung)
- Es sei
ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene 
. Ferner sei Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}
- Es sei
. Unter der zentrischen Streckung 
mit dem Streckzentrum und dem Streckfaktor 
versteht man eine Abbildung von auf sich mit 
.
Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von und verschiedenen Positionen von 
(Strg + f löscht die Spur):
Eigenschaften zentrischer Streckungen
Satz II.08
- Eine zentrische Streckung ist genau dann die Identität, wenn
gilt.
- Eine zentrische Streckung
Beweis von Satz II.08
- trivial, entsprechend der Definition II.07
Satz II.09
- Es seien
drei Punkte und 
deren Bilder bei der zentrischen Streckung . Wenn 
, dann 
.
- Es seien
Beweis von Satz II.09
- Übungsaufgabe
- Hinweise:
- (I)
- (II)
- Den Rest erledigen die Strahlensätze.
- (I)
Satz II.10: Korollar aus Satz II.09
- Jede zentrische Streckung ist geradentreu.
Satz II.11
- Für jede zentrische Streckung gilt: Jede Gerade, die durch durch geht, ist ein Fixgerade bei .
- Für jede zentrische Streckung
Beweis II.11
- trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.12
- Es sei
eine Gerade und 
ihr Bild bei . Es gilt: 
.
- Es sei
Beweis von Satz II.12
Fall 1
- Nach Satz II.11 gilt
und damit .
- Nach Satz II.11 gilt
Fall 2
-
- Annahme:
- Fall 2.1:
- trivial,
- Fall 2.2: Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{S\right}=g \cap g'
- Fall 2.1:
- Annahme:
-
- Übungsaufgabe
Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:und
.
Nun gilt:.
Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen Streckung (also unserer Geraden g') parallel ist. q. e. d.
--Flo60 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)
