Zentrische Streckungen (2011/12)

Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Es sei $Z$ ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene $\varepsilon$. Ferner sei

. Unter der zentrischen Streckung $ZS_{Z,k}$mit dem Streckzentrum $Z$ und dem Streckfaktor $k$ versteht man eine Abbildung von $\varepsilon$ auf sich mit $\forall P \in \varepsilon : ZS_{Z,k} (P) = Z + k \vec{ZP}$.

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von $k$ und verschiedenen Positionen von $P$ (Strg + f löscht die Spur):

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Eine zentrische Streckung $ZS_{Z,k}$ ist genau dann die Identität, wenn $k=1$ gilt.

Beweis von Satz II.08

trivial, entsprechend der Definition II.07

Satz II.09

Es seien $A,B,C$ drei Punkte und $A',B',C'$ deren Bilder bei der zentrischen Streckung $ZS_{Z,k}$. Wenn $\operatorname{koll}(A,B,C)$, dann $\operatorname{koll}(A',B',C')$.

Beweis von Satz II.09

Übungsaufgabe

Hinweise:

(I) $\operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B)$

(II) $\operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow |AB|+|BC|=|AC|$

Den Rest erledigen die Strahlensätze.

Satz II.10: Korollar aus Satz II.09

Jede zentrische Streckung ist geradentreu.

Satz II.11

Für jede zentrische Streckung $ZS_{Z,k}$ gilt: Jede Gerade, die durch durch $Z$ geht, ist ein Fixgerade bei $ZS_{Z,k}$.

Beweis II.11

trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.12

Es sei $g$ eine Gerade und $g'$ ihr Bild bei $ZS_{Z,k}$. Es gilt: $g \|| g'$.

Beweis von Satz II.12

Fall 1

$Z \in g$

Nach Satz II.11 gilt $g \equiv g'$ und damit $g \|| g'$.

Fall 2

$Z \not\in g$

Annahme: $\exist S \in g \cap g'$

Fall 2.1: $\exist T \in g \cap g', T \not\equiv S$

trivial, $g \equiv g'$

Fall 2.2:

Übungsaufgabe

Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
$|ZP'| = |ZP|k$ und $|ZQ'| = |ZQ|k$.

Nun gilt: $\frac{|ZQ|k} {|ZQ|} = \frac{|ZP|k} {|ZP|} = k$.

Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
Streckung (also unserer Geraden g') parallel ist.
q. e. d.

--Flo60 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)