Dreieckskongruenz (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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{{Definition|(Bewegung oder Kongruenzabbildung)<br />Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der für beliebige Punktepaare der Ebene gilt: der Abstand der Punkte des Paares zueinander ist so groß wie der Abstand ihrer Bildpunkte zueinander.}}
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{{Definition|(Relation der Kongreunz auf der Menge aller Figuren)<br />Zwei Figuren <math>\mathcal{F}_1</math> und <math>\mathcal{F}_2</math> sind kongruent zueinander (in Zeichen <math>\mathcal{F}_1 \tilde= \mathcal{F}_2</math>), wenn es eine Bewegung <math>\beta</math> mit <math>\beta\left(\mathcal{F}_1\right)=\mathcal{F}_2</math> gibt.}}
  
 
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Ausnahme: Für den Basiswinkelsatz und dessen Umkehrung und für die beiden Richtungen des Mittelsenkrechtenkriteriums in der folgenden Vorlesung werden nur SWS und WSW zugelassen. Grund: Die Beweise der anderen Kongruenzsätze beruhen auf dem Basiswinkelsatz bzw. dessen Umkehrung. Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes beruht wiederum auf dem Mittelsenkrechtenkriterium.
  
 
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Aktuelle Version vom 21. Juni 2012, 16:51 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz

Bewegungsgeometrie

naive Deckungsgleichheit

Zwei Figuren sind deckungsgleich, wenn sie ausgeschnitten so aueinander platziert werden könne, dass nichts übersteht bzw. die beiden Figuren genau aufeinander passen.

Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich

Definition

(Bewegung oder Kongruenzabbildung)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der für beliebige Punktepaare der Ebene gilt: der Abstand der Punkte des Paares zueinander ist so groß wie der Abstand ihrer Bildpunkte zueinander.

Zueinander kongruente Figuren

Definition

(Figur)
Eine Menge von Punkten der Ebene heißt Figur.

Definition

(Relation der Kongreunz auf der Menge aller Figuren)
Zwei Figuren \mathcal{F}_1 und \mathcal{F}_2 sind kongruent zueinander (in Zeichen \mathcal{F}_1 \tilde= \mathcal{F}_2), wenn es eine Bewegung \beta mit \beta\left(\mathcal{F}_1\right)=\mathcal{F}_2 gibt.

Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz

Videos zur Idee der Kongruenz

Streckenkongruenz

Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.

1. Wie sagt man es richtig?

Die Strecken \overline{AB} und \overline{CD} sind kongruent zueinander.
Der Punkt \ A hat zum Punkt \ B denselben Abstand wie der Punkt \ C zum Punkt \ D
Die Strecken \overline{AB} und \overline{CD} haben dieselbe Länge.

Punkte: 0 / 0


Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

Definition VII.1: (Streckenkongruenz)
Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.
In Zeichen \overline{AB} \tilde {=} \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|

Winkelkongruenz

Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

Definition VII.2 : (Winkelkongruenz)
Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.
In Zeichen: \alpha \tilde {=} \beta := | \alpha | = | \beta |

Dreieckskongruenz

In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

Definition VII.3: (Dreieckskongruenz)
Wenn für zwei Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} die folgenden 6 Kongruenzen
  1. \overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}
  2. \overline{BC} \tilde {=} \overline{EF}
  3. \overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}
  4. \angle CAB \tilde {=} \angle FDE
  5. \angle ABC \tilde {=} \angle DEF
  6. \angle ACB \tilde {=} \angle DFE
gelten,
dann sind die beiden Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} kongruent zueinander.


Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie:
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen \ a = 5\operatorname{cm}, \ b = 4\operatorname{cm}, \ c = 3\operatorname{cm}. \ 30 Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung \ 30 Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung.

Das Kongruenzaxiom SWS

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)
Wenn für zwei Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} die folgenden 3 Kongruenzen
  1. \overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}
  2. \overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}
  3. \angle CAB \tilde {=} \angle FDE
gelten,
dann sind die beiden Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} kongruent zueinander.

Der Kongruenzsatz WSW

Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)
Wenn für zwei Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} die folgenden 3 Kongruenzen
  1. \overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}
  2. \angle CAB \tilde {=} \angle FDE
  3. \angle ABC \tilde {=} \angle DEF
gelten,
dann sind die beiden Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} kongruent zueinander.
Beweis von Satz VII.4
Als Folge von Tafeln

Der fotografierte Beweis

Die Beweisidee

Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.


Der Kongruenzsatz SSS

Hier dürfen Sie sich austoben. Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

Der Kongruenzsatz SsW

Hier dürfen Sie sich austoben.

Hinweis: Alle Kongruenzsätze dürfen ab sofort in Beweisen verwendet werden.
Ausnahme: Für den Basiswinkelsatz und dessen Umkehrung und für die beiden Richtungen des Mittelsenkrechtenkriteriums in der folgenden Vorlesung werden nur SWS und WSW zugelassen. Grund: Die Beweise der anderen Kongruenzsätze beruhen auf dem Basiswinkelsatz bzw. dessen Umkehrung. Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes beruht wiederum auf dem Mittelsenkrechtenkriterium.

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