Dreieckskongruenz (SoSe 12)

Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz Bewegungsgeometrie naive Deckungsgleichheit Zwei Figuren sind deckungsgleich, wenn sie ausgeschnitten so aueinander platziert werden könne, dass nichts übersteht bzw. die beiden Figuren genau aufeinander passen. Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich Definition (Bewegung oder Kongruenzabbildung) Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der für beliebige Punktepaare der Ebene gilt: der Abstand der Punkte des Paares zueinander ist so groß wie der Abstand ihrer Bildpunkte zueinander. Zueinander kongruente Figuren Definition (Figur) Eine Menge von Punkten der Ebene heißt Figur. Definition (Relation der Kongreunz auf der Menge aller Figuren) Zwei Figuren $\mathcal{F}_1$ und $\mathcal{F}_2$ sind kongruent zueinander (in Zeichen $\mathcal{F}_1 \tilde= \mathcal{F}_2$), wenn es eine Bewegung $\beta$ mit $\beta\left(\mathcal{F}_1\right)=\mathcal{F}_2$ gibt. Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz Videos zur Idee der Kongruenz Streckenkongruenz Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters. 1. Wie sagt man es richtig? Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind kongruent zueinander. Der Punkt $\ A$ hat zum Punkt $\ B$ denselben Abstand wie der Punkt $\ C$ zum Punkt $\ D$ Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ haben dieselbe Länge. Punkte: 0 / 0 Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym. Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz. Definition VII.1: (Streckenkongruenz) Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. In Zeichen $\overline{AB} \tilde {=} \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|$ Winkelkongruenz Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben. Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. In Zeichen: $\alpha \tilde {=} \beta := | \alpha | = | \beta |$ Dreieckskongruenz In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen. Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 6 Kongruenzen $\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}$ $\overline{BC} \tilde {=} \overline{EF}$ $\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}$ $\angle CAB \tilde {=} \angle FDE$ $\angle ABC \tilde {=} \angle DEF$ $\angle ACB \tilde {=} \angle DFE$ gelten, dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander. Überprüfen Sie Ihr Verständnis: In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen $\ a = 5\operatorname{cm}$, $\ b = 4\operatorname{cm}$, $\ c = 3\operatorname{cm}$. $\ 30$ Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung $\ 30$ Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Das Kongruenzaxiom SWS Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen $\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}$ $\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}$ $\angle CAB \tilde {=} \angle FDE$ gelten, dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander. Der Kongruenzsatz WSW Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen $\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}$ $\angle CAB \tilde {=} \angle FDE$ $\angle ABC \tilde {=} \angle DEF$ gelten, dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander. Beweis von Satz VII.4 Als Folge von Tafeln Der fotografierte Beweis Die Beweisidee Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht. Der Kongruenzsatz SSS Hier dürfen Sie sich austoben. Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen. Der Kongruenzsatz SsW Hier dürfen Sie sich austoben. Hinweis: Alle Kongruenzsätze dürfen ab sofort in Beweisen verwendet werden. Ausnahme: Für den Basiswinkelsatz und dessen Umkehrung und für die beiden Richtungen des Mittelsenkrechtenkriteriums in der folgenden Vorlesung werden nur SWS und WSW zugelassen. Grund: Die Beweise der anderen Kongruenzsätze beruhen auf dem Basiswinkelsatz bzw. dessen Umkehrung. Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes beruht wiederum auf dem Mittelsenkrechtenkriterium.