Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Schulvariante des Beweises des Basiswinkelsatzes

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende des Winkels, der der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegt. Die Winkelhalbierende muss dann die Basis des Dreiecks schneiden. Diese unmittelbar einsichtige Tatsache muss eigentlich bwiesen werden. Wir verweisen diesbezüglich auf die Lemmata zu Winkeln.

Hinweis: Im folgenden Beweis berufen wir uns auf Lemma 1. Korrekterweise müsste es Lemma W/3 heißen. Sobald ich Zeit finde werde ich die App überarbeiten.--*m.g.* 18:17, 21. Jun. 2012 (CEST)

Beweis des Basiswinkelsatzes

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Ein Punkt gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke , wenn gilt.

Bezug zur Schule:

Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke

gesucht: , die Mittelsenkrechte von

Schrittnr.	Konstruktionsschritt
1.	Zeichne einen Kreis um , dessen Radius länger als die Hälfte der Länge der Strecke ist.
2.	Behalte bei und zeichne einen Kreis um .
3.	Der Kreis um schneidet den Kreis um in den beiden Schnittpunkten und .
4.	Zeichne die Gerade . Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von .

Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist wirklich die Mittelsenkrechte von ?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört.)

Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von .

Beweis von Satz VII.6 a

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte und Punkte der Mittelsenkrechten von sind.

Die Wahl des Radius der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für . Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von zu den Punkten und jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke notwendigerweise zu und zu ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört)

Wenn ein Punkt zur Mittelsenkrechten der Strecke gehört, dann hat er zu den Punkten und ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:

Wir wissen, eine Implikation aus a folgt b bedeutet, dass a eine hinreichende Bedingung für b ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?

Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt zu zwei verschiedenen Punkten und ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass auf der Mittelsenkrechten von liegt.

Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:

Wenn ein Punkt zu den Punkten und nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von .

Beweis: Übungsaufgabe