Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB} gehört))
 
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Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende des Winkels, der der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegt. Die Winkelhalbierende muss dann die Basis des Dreiecks schneiden. Diese unmittelbar einsichtige Tatsache muss eigentlich bwiesen werden. Wir verweisen diesbezüglich auf die [[Lemmata zu Winkeln]].
 
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende des Winkels, der der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegt. Die Winkelhalbierende muss dann die Basis des Dreiecks schneiden. Diese unmittelbar einsichtige Tatsache muss eigentlich bwiesen werden. Wir verweisen diesbezüglich auf die [[Lemmata zu Winkeln]].
  
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Hinweis: Im folgenden Beweis berufen wir uns auf Lemma 1. Korrekterweise müsste es Lemma W/3 heißen. Sobald ich Zeit finde werde ich die App überarbeiten.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:17, 21. Jun. 2012 (CEST)
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Hinweis: Im folgenden Beweis berufen wir uns auf Lemma 1. Korrekterweise müsste es Lemma W/3 heißen. Sobald ich Zeit finde werde ich die App überarbeiten.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:17, 21. Jun. 2012 (CEST)<br /><br />
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{{pdf|Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf| Hier}} finden Sie das Arbeitsblatt zum Beweis des Basiswinkelsatzes aus der Vorlesung vom 28.06.2012.
  
 
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
 
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===== Satz VII.6 b =====
 
===== Satz VII.6 b =====
 
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.
 
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.
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Beweis: Übungsaufgabe
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==Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes==
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===== Satz VII.7=====
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::Wenn ein Dreieck zwei zueinander kongruente Innenwinkel hat, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
  
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Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:
 
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::Wir wissen, eine Implikation ''aus a folgt b'' bedeutet, dass  ''a'' eine hinreichende Bedingung für ''b'' ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?
 
  
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::Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt  <math>\ P</math> zu zwei verschiedenen Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten von  <math>\overline{AB}</math> liegt.
 
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::Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:
 
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::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.<br />
 
  
  
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Beweis: Übungsaufgabe
 
  
 
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

Aktuelle Version vom 27. Juni 2012, 12:11 Uhr


Inhaltsverzeichnis

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Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Schulvariante des Beweises des Basiswinkelsatzes

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende des Winkels, der der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegt. Die Winkelhalbierende muss dann die Basis des Dreiecks schneiden. Diese unmittelbar einsichtige Tatsache muss eigentlich bwiesen werden. Wir verweisen diesbezüglich auf die Lemmata zu Winkeln.

Hinweis: Im folgenden Beweis berufen wir uns auf Lemma 1. Korrekterweise müsste es Lemma W/3 heißen. Sobald ich Zeit finde werde ich die App überarbeiten.--*m.g.* 18:17, 21. Jun. 2012 (CEST)

Hier finden Sie das Arbeitsblatt zum Beweis des Basiswinkelsatzes aus der Vorlesung vom 28.06.2012.

Beweis des Basiswinkelsatzes

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
Ein Punkt \ P gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke \overline{AB}, wenn \overline{AP} \tilde {=} \overline{BP} gilt.



Bezug zur Schule:

Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke \overline{AB} mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke \overline{AB}

gesucht: \ m , die Mittelsenkrechte von \overline{AB}


Schrittnr. Konstruktionsschritt
1. Zeichne einen Kreis um \ A, dessen Radius \ r länger als die Hälfte der Länge der Strecke \overline{AB} ist.
2. Behalte \ r bei und zeichne einen Kreis um \ B.
3. Der Kreis um \ A schneidet den Kreis um \ B in den beiden Schnittpunkten \ S_1 und \ S_2.
4. Zeichne die Gerade \ S_1S_2. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von \overline{AB}.

Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist \ S_1S_2 wirklich die Mittelsenkrechte von \overline{AB}?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

Satz VII.6 a:
Wenn ein Punkt \ P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.
Beweis von Satz VII.6 a

Übungsaufgabe (Das Video hilft)


Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte \ S_1 und \ S_2 Punkte der Mittelsenkrechten von \overline{AB} sind.

Die Wahl des Radius \ r der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für \ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB} zu den Punkten \ A und \ B jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke \overline{AB} notwendigerweise zu \ A und zu \ B ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

Satz VII.6 b
Wenn ein Punkt \ P zur Mittelsenkrechten der Strecke \overline{AB} gehört, dann hat er zu den Punkten \ A und \ B ein und denselben Abstand.

Beweis: Übungsaufgabe

Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Satz VII.7
Wenn ein Dreieck zwei zueinander kongruente Innenwinkel hat, dann ist das Dreieck gleichschenklig.



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