Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
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Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
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===Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut===
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Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g<br/>
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Behauptung:    Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.
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!Schritt!!Warum darf ich den Schritt machen?
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Durch Axiom I.4 wären Existenz ('''Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es''' genau '''eine Ebene'''...) und Eindeutigkeit (... '''genau eine Ebene'''...) bewiesen. <br/>
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--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)
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===Bemerkungen M.G.===
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Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte <math>X,Y,P</math> in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegen.
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Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.)
  
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!Nr. !!Schritt !! Warum darf ich den Schritt machen?
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| (1) || <math>\exist X, Y : X \in g \wedge Y \in g</math> || Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte.
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| (2) ||<math>\operatorname{nkoll} (X,Y,P)</math>||Nach Voraussetzung gehört <math>P</math> nicht zu <math>g</math>, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte <math>X</math> und <math>Y</math> jedoch zutrifft.
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| (3)|| <math>\exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon</math> || Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
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| (4)|| <math>g \subset \varepsilon</math> || Axiom ...
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Bei Schritt (4) würde ich als Begründung das Axiom I.5 anwenden, welches besagt, dass "wenn 2 Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E". <br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:47, 9. Jul. 2012 (CEST)<br />
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*Ja, dann passt der Beweis auch so. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:32, 12. Jul. 2012 (CEST) 
 
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Aktuelle Version vom 12. Juli 2012, 10:32 Uhr

Zusatzaufgabe 6.1

Es sei \ g eine Gerade und \ P ein Punkt, der nicht zu \ g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene \ \varepsilon, die sowohl alle Punkte von \ g als auch den Punkt \ P enthält.

Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut

Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.

Schritt Warum darf ich den Schritt machen?
(1)Es existiert X,Y.X,Y Element g I.2
(2)nkoll(X,Y,P) (1), Vor.
(3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene (2), I.4

Durch Axiom I.4 wären Existenz (Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene...) und Eindeutigkeit (... genau eine Ebene...) bewiesen.
--RitterSport 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte X,Y,P in der Ebene \varepsilon liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden g in \varepsilon liegen.

Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.)

Nr. Schritt Warum darf ich den Schritt machen?
(1) \exist X, Y : X \in g \wedge Y \in g Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte.
(2) \operatorname{nkoll} (X,Y,P) Nach Voraussetzung gehört P nicht zu g, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte X und Y jedoch zutrifft.
(3) \exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
(4) g \subset \varepsilon Axiom ...


Bei Schritt (4) würde ich als Begründung das Axiom I.5 anwenden, welches besagt, dass "wenn 2 Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E".
--Tchu Tcha Tcha 13:47, 9. Jul. 2012 (CEST)

  • Ja, dann passt der Beweis auch so. --Tutor Andreas 11:32, 12. Jul. 2012 (CEST)
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