Spickzettel SS 12 Sekundarstufe: Unterschied zwischen den Versionen

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*Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden
 
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A <=> B'''
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A ist äquivalent zu B
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A ist notwendig und hinreichend  für B
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A ist eine hinreichende Bedingung für B
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'''Definition Inneres eines Winkels:'''
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I∢ ASB ≔ SA,B+ ∩ SB,A+
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'''Winkelhalbierenden Kriterium:'''
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P ∊ w  <=>  lP,SA+l = lP,SB+l
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Basiswinkelsatz:'''
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a ≅ b => α ≅ β 
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S''' s W – Satz: Größere Seite  =>  größerem Winkel gegenüber
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'''Außenwinkelsatz:'''
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Außenwinkel β´  =>  β´> α
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β´> γ
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'''Kriterium''': Sei ABC ein
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Dreieck mit schulüb. Bez.:
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l a l  >  l b l  <=>  l α l  >  l β l
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'''Undefinierbare Grundbegriffe''': Punkt, Gerade,  Ebene
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→ Definitionen → Axiom – Sätze
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„Satz“ <=> „Satz“ (Kriterium)
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    (genau dann)
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'''Existenz kann nicht mit Definitionen begründet werden
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Definition Strecke (AB):'''
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A¯B ≔ { P l Zw(A,P,B) } ∪ {A,B}
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Mittelsenkrechten Kriterium:'''
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P ∊ m  <=>  lAPl = lBPl
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Definition Halbgerade:'''
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offene Halbebene''':  A,B ∊ g; A≠B
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AB+ ≔ { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {B}
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AB- ≔ { P l Zw(P,A,B) }
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'''geschloss. Halbebene: ''' A,B ∊ g; A≠B
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AB+ ≔ { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {A,B}
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AB- ≔ { P l Zw(P,A,B) }∪ {A}
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Definition Halbebene:'''
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offene Halbebene:'''  Q∉g
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gQ+ ≔ { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ {A,B}
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gQ- ≔ { P l P¯Q ∩g ≠ ∅ }
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geschloss. Halbebene:'''  Q∉g
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gQ+ ≔ { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ g
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gQ- ≔ { P l P¯Q ∩ g ≠ ∅ } ∪ g
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Beweis: Zw(A,B,C)  =>  A¯B  ⊂  A¯C'''
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a) A¯B  ist Teilmenge von A¯C
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b) A¯B  ≠  A¯C
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das bedeutet  ∀P∊  A¯B  : P∊  A¯C
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bzw. wenn P∊  A¯B  =>  P∊  A¯C
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'''Basiswinkelsatz:'''
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a ≅ b => α ≅ β 
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'''Stufenwinkelsatz:'''
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l α l  ≅  l β l  =>  a ll b
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!! Umkehrung geht nicht
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→ Axiom nicht unabhängig
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                            '''Haus der Vierecke:'''
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Version vom 22. Juli 2012, 13:25 Uhr

Wie gesagt, eine A4-Seite, nutzen Sie für den Disput untereinander ausnahmsweise die Diskussionsseite dieser Datei.
Ich hab die bisherigen Kommentare mal ausnahmsweise in die Diskussionsseite gelegt. Also hier meine Vorschläge für Sätze:

  • Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke
  • Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten einer Strecke
  • Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten durch einen Punkt P bzgl. einer Geraden g
  • Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
  • Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden

...--*m.g.* 15:49, 10. Jul. 2012 (CEST)



Spickzettel

A <=> B A ist äquivalent zu B A ist notwendig und hinreichend für B

A => B A ist eine hinreichende Bedingung für B B ist eine notwendige Bedingung für A

Definition Inneres eines Winkels: I∢ ASB ≔ SA,B+ ∩ SB,A+

Winkelhalbierenden Kriterium: ∢ ASB P ∊ w <=> lP,SA+l = lP,SB+l

Basiswinkelsatz: a ≅ b => α ≅ β S s W – Satz: Größere Seite => größerem Winkel gegenüber 

          !! dieser muss gezeigt werden


Außenwinkelsatz: Außenwinkel β´ => β´> α β´> γ


Kriterium: Sei ABC ein Dreieck mit schulüb. Bez.: l a l > l b l <=> l α l > l β l


Undefinierbare Grundbegriffe: Punkt, Gerade, Ebene

→ Definitionen → Axiom – Sätze „Satz“ <=> „Satz“ (Kriterium) 

    (genau dann)

Existenz kann nicht mit Definitionen begründet werden




Definition Strecke (AB): A¯B ≔ { P l Zw(A,P,B) } ∪ {A,B} Mittelsenkrechten Kriterium: P ∊ m <=> lAPl = lBPl

Definition Halbgerade: offene Halbebene: A,B ∊ g; A≠B AB+ ≔ { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {B} AB- ≔ { P l Zw(P,A,B) }

geschloss. Halbebene: A,B ∊ g; A≠B AB+ ≔ { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {A,B} AB- ≔ { P l Zw(P,A,B) }∪ {A}

Definition Halbebene: offene Halbebene: Q∉g gQ+ ≔ { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ {A,B} gQ- ≔ { P l P¯Q ∩g ≠ ∅ } geschloss. Halbebene: Q∉g gQ+ ≔ { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ g gQ- ≔ { P l P¯Q ∩ g ≠ ∅ } ∪ g

Beweis: Zw(A,B,C) => A¯B ⊂ A¯C a) A¯B ist Teilmenge von A¯C b) A¯B ≠ A¯C das bedeutet ∀P∊ A¯B  : P∊ A¯C bzw. wenn P∊ A¯B => P∊ A¯C

Basiswinkelsatz: a ≅ b => α ≅ β

Stufenwinkelsatz: l α l ≅ l β l => a ll b !! Umkehrung geht nicht → Axiom nicht unabhängig 

                           Haus der Vierecke:



--KeinKurpfälzer 14:25, 22. Jul. 2012 (CEST) H2O und Co







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