Beweisen WS 12 13 S: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung:<br /> | Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung:<br /> | ||
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br /> | formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br /> | ||
− | + | ====Aufgabe:==== | |
+ | Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /> | ||
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+ | Gegeben sei die Implikation <math>\ A \Rightarrow B</math><br />.<br /> | ||
+ | Unter der Kontraposition von <math>\ A \Rightarrow B</math> versteht man die Implikation <math>\ \neg A \Rightarrow \neg B</math><br /> | ||
+ | ====Aufgabe==== | ||
+ | Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br /> | ||
+ | ... | ||
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==Äquivalenzen== | ==Äquivalenzen== | ||
Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br /> | Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br /> | ||
− | + | ||
+ | gesprochen: <math>A</math> genau dann, wenn <math>B</math> <br />oder<br /> <math>B</math> gilt dann und nur dann, wenn <math>A</math> gilt. | ||
+ | ====Aufgabe:==== | ||
+ | Bekannterweise gelten in der Euklidischen Geometrie sowohl der Wechselwinkelsatz als auch seine Umkehrung.<br /> | ||
+ | Formulieren Sie beide Sätze (Wechselwinkelsatz und Umklehrung des Wechselwinkelsatzes) in einem Satz als Äquivalenz.<br /> | ||
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Aktuelle Version vom 1. November 2012, 18:11 Uhr
ImplikationenBeispiel WechselwinkelsatzAus der Schule kennen Sie bereits den so genannten Wechselwinkelsatz. AufgabeFormulieren Sie den Wechselwinkelsatz in der Wenn-Dann-Form: UmkehrungenWir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: Aufgabe:Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: KontrapositionenGegeben sei die Implikation AufgabeFormulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. ÄquivalenzenIst ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: gesprochen: genau dann, wenn Aufgabe:Bekannterweise gelten in der Euklidischen Geometrie sowohl der Wechselwinkelsatz als auch seine Umkehrung. Notwenig, hinreichend, notwendig und hinreichendAufgaben zum EinstiegZwei Paare paralleler Seiten sind notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend für .. ?
Das Ganze noch mal in Wenn ... Dann ...
Erkennen Sie den Zusammenhang?Erklärung der BegriffeAn dieser Stelle ist es sinnvoll, zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: hinreichende und notwendige Bedingung BeweiseBeispiel: Wir beweisen den BasiswinkelsatzDer SatzSatz: (Basiswinkelsatz)
Direkter BeweisVoraussetzung: q.e.d. Indirekter BeweisWir schicken zunächst den folgenden bekannten Satz voraus:
Satz (*): In jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel auch die größere Seite gegenüber.
Voraussetzung: Ein wenig Theorie zum BeweisenMathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.
Aufgabe:
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. |