Geradenspiegelungen (2012/13): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. November 2012, 15:51 Uhr

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$ . Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung an einer Geraden $\ g$ , $(P \notin g)$
Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	...	...	...
2.	...	...	...
3.	...	...	...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $\ S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $\ S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $\ A$ , $\ B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $\ g$ auf ihre Bilder $\ A'$ und $\ B'$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1

$\ A, B$ $\in$ $\ g$

Beweis:

Fall 2

$\ A$ $\in$ $\ g$ , $\ B$ $\notin$ $\ g$

Beweis:<br />

Fall 3

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

Sei $L_a := AA' \cap g$ und $L_b := BB' \cap g$
nach Definition der Gradespiegelung ist g Mittelsenkrechte von $\overline{AA'} \wedge \overline{BB'}$
$\Rightarrow L_a \wedge L_b$ sind Mittelpunkt der Strecken $\overline{AA'} \wedge \overline{BB'}$
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \Rightarrow \left| AL_a \right| = \left| A'L_a \right| \wedge \left| BL_b \right| = \left| B'L_b \right|\box
Ferner gilt da g Mittelsenkrechte ist Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): |\angle L_bL_aA'|=|\angle AL_aL_b|=90\box \box
Trivialerweise gilt Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \left| L_aL_b \right| = \left| L_aL_b \right|\box \box \box
Aus Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \box ,\box \box ,\box \box \box , SWS \Rightarrow \overline{A'L_aL_b}\equiv \overline{AL_aL_b} \Rightarrow \left| A'L_b \right| = \left| AL_b \right| \wedge \angle A'L_bL_a\equiv \angle L_aL_bA \Rightarrow \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB
Nun gilt: $\left| A'L_b \right| =\left| AL_b \right| \wedge \left| B'L_b \right| =\left| BL_b \right| \wedge \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB$
$\Rightarrow \overline{A'B'L_B}\equiv \overline{ABL_B} \Rightarrow \left| AB \right| =\left| A'B' \right|$ --Peterpummel 19:42, 7. Nov. 2011 (CET)

Fall 4

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

Beweis

Leitgedanke: Die beiden Dreiecke BB'C und AA'C sind gleichschenklig (trivial)
Es gibt den Schnittpunkt C = AB geschnitten A'B', wegen A und B befinden sich in verschiedenen Halbebenen + wäre wenn nicht widerspruch zur gleischenkligkeit (mittelsenkrechtenkriterium)
und daraus würde dann die Gleichheit folgen.
müsste noch ausformuliert werden. --Peterpummel 22:23, 7. Nov. 2011 (CET)

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

Der Beweis kann direkt geführt werden, da er dem Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes nachgeht. Nehmen wir aber dennoch an, es gibt eine zweite Spiegelgerade f, mit f $\neq$ g.

Es seien P ein Punkt und P' das Bild des Punktes P. P' entstand durch Spiegelung an g.
Der Schnittpunkt von $g \cap \overline{PP'}$ sei L.

Nach der Definition der Geradenspiegelung (bzw. Bild eines Punktes bei der Spiegelung) ist nun L Mittelpunkt von $\overline{PP'}$ .
Da der Mittelpunkt einer Strecke eindeutig ist, muss nun gelten, dass f ebenfalls durch L verläuft und senkrecht ist. Da aber nach dem Winkelkonstruktionsaxiom nur ein Winkel mit dem Maß 90 existiert, muss f $\equiv$ g sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. --Flo60 21:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $\ S$ ist durch die Angabe eines Punktes $\ P$ und dem Bild von $\ S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $\ P \not= S(P)$ gilt.

@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
 =====Fall 2=====
 ::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>
-Beweis:<br />
+'''Beweis:<'''br />
 =====Fall 3=====

Geradenspiegelungen (2012/13): Unterschied zwischen den Versionen

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Inhaltsverzeichnis

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Beweis von Satz 2.1:

Fall 1

Fall 2

Fall 3

Fall 4

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Satz 2.2

Satz 2.3

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Geradenspiegelungen (2012/13): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. November 2012, 15:51 Uhr

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Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Spiegelung an der Geraden

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

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Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden )

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Beweis von Satz 2.1:

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