Serie 7 (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen

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Der Äquator und alle Längenkreise der Erdkugel sind Beispiele für Großkreise.
 
Der Äquator und alle Längenkreise der Erdkugel sind Beispiele für Großkreise.
  
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Auf der Menge <math>\mathbb{K}</math> aller Kreise der Ebene sei die Funktion <math>D: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{R}</math> definiert, die jeden Kreis auf die Länge seiner Durchmesser abbildet. <br />
 
Auf der Menge <math>\mathbb{K}</math> aller Kreise der Ebene sei die Funktion <math>D: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{R}</math> definiert, die jeden Kreis auf die Länge seiner Durchmesser abbildet. <br />
 
<math>M:=\left\{P|\exist k_A \in \mathbb{K}_A \wedge \exist k_B \in \mathbb{K}_B: D\left(k_A\right)=D\left(k_B\right) \wedge P \in k_A \cap k_B \right\}</math>
 
<math>M:=\left\{P|\exist k_A \in \mathbb{K}_A \wedge \exist k_B \in \mathbb{K}_B: D\left(k_A\right)=D\left(k_B\right) \wedge P \in k_A \cap k_B \right\}</math>
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Für die folgenden Aufgaben arbeiten Sie bitte [[Streckenmittelpunkte und das Axiom vom Lineal WS 12 13]] durch.
  
 
==Aufgabe 7.4==
 
==Aufgabe 7.4==
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Was ist in der folgenden Definition alles nicht korrekt?
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==Aufgabe 7.5==
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Beweisen Sie, dass jede Strecke einen Mittelpunkt hat.
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==Aufgabe 7.6==
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Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke.
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==Aufgabe 7.7==
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Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke. <math>\overline{AM_n}, n \in \mathbb{N}</math> ist eine Folge von Strecken mit <math>M_{n+1}</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AM_n}</math>. Beweisen Sie: Für jedes  <math>\varepsilon \in \mathbb{R}^+</math> gilt: Fast alle Folgeglieder von <math>\overline{AM_n}</math> sind Teilmengen von <math>\overline{AC}</math> mit <math>|AC|=\varepsilon \wedge C \in AB^+</math>.
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===Bemerkung===
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Unter ''fast allen'' versteht der Mathematiker ''alle bis auf endlich viele''.
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Aktuelle Version vom 8. Dezember 2012, 18:11 Uhr


Inhaltsverzeichnis

Ohne Axiom vom Lineal

Aufgabe 7.1

Bauen Sie die folgende Applikation nach:

Hilfen

  • Sie können die Abstände zwischen zwei Punkten bestimmen lassen. Geben Sie etwa in die Eingabezeile ein: AB=Abstand[A,B]. Sie finden den Wert der Variablen AB dann in der Algebraansicht.
  • Sie können Objekte in Abhängigkeit gewisser Werte anzeigen bzw. verstecken lassen. Beispiel: Strecke \overline{AB}. Die Strecke wird zunächst ganz normal generiert. Dann Rechtsklick auf das Objekt: Eigenschaften, Erweitert, Bedingung um Objekt anzuzeigen. Sie haben bereits AB, PB und PA berechnen lassen. Für das Anzeigen der Strecke AB geben Sie jetzt ein: PA+PB==AB. (Die beiden Gleichheitszeichen sind kein Tippfehler)
  • Das logische oder wird mittels || generiert.

Lösung von Aufgabe 7.1 WS_12_13

Aufgabe 7.2

Definieren Sie:

  1. Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r \in \mathbb{R},
  2. Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r \in \mathbb{R},
  3. Sehnen, Durchmesser und Radien eines Kreises k (Durchmesser und Radius sind als geometrische Objekte und nicht als Zahlen zu verstehen),
  4. Passante, Sekante, Tangente bzgl. eines Kreises k,
  5. Tangentialebene einer Kugel k,
  6. Großkreis auf einer Kugel k.

Bemerkung

Der Äquator und alle Längenkreise der Erdkugel sind Beispiele für Großkreise.

Lösung von Aufgabe 7.2 WS_12_13

Aufgabe 7.3

Welcher geometrische Begriff, den Sie aus der Schule kennen, wird im Folgenden beschrieben? Ebene Geometrie sei vorausgesetzt.

Es seien A und B zwei Punkte. Ferner sei \mathbb{K}_A die Menge aller Kreise mit dem Mittelpunkt A. Analog wollen wir unter \mathbb{K}_B die Menge aller Kreise mit dem Mittelpunkt B verstehen. Auf der Menge \mathbb{K} aller Kreise der Ebene sei die Funktion D: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{R} definiert, die jeden Kreis auf die Länge seiner Durchmesser abbildet.
M:=\left\{P|\exist k_A \in \mathbb{K}_A \wedge \exist k_B \in \mathbb{K}_B: D\left(k_A\right)=D\left(k_B\right) \wedge P \in k_A \cap k_B \right\}

Lösung von Aufgabe 7.3 WS_12_13

Mit Axiom vom Lineal

Für die folgenden Aufgaben arbeiten Sie bitte Streckenmittelpunkte und das Axiom vom Lineal WS 12 13 durch.

Aufgabe 7.4

Was ist in der folgenden Definition alles nicht korrekt?

Definition

Mittelpunkt einer Strecke
Unter dem Mittelpunkt versteht man einen Punkt, wo halbiert.

Lösung von Aufgabe 7.4 WS_12_13

Aufgabe 7.5

Beweisen Sie, dass jede Strecke einen Mittelpunkt hat.

Lösung von Aufgabe 7.5 WS_12_13

Aufgabe 7.6

Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke.

Lösung von Aufgabe 7.6 WS_12_13

Aufgabe 7.7

Es sei \overline{AB} eine Strecke. \overline{AM_n}, n \in \mathbb{N} ist eine Folge von Strecken mit M_{n+1} ist der Mittelpunkt von \overline{AM_n}. Beweisen Sie: Für jedes \varepsilon \in \mathbb{R}^+ gilt: Fast alle Folgeglieder von \overline{AM_n} sind Teilmengen von \overline{AC} mit |AC|=\varepsilon \wedge C \in AB^+.

Bemerkung

Unter fast allen versteht der Mathematiker alle bis auf endlich viele.

Lösung von Aufgabe 7.7 WS_12_13

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