Geradenspiegelungen (2012 13): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. Dezember 2012, 12:50 Uhr

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$ . Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung an einer Geraden $\ g$ , $(P \notin g)$
Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	Lotgerade von P auf g	Fällen des Lotes von P auf die Gerade g	Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
2.	Lotfußpunkt L	Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g	Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
3.	IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'	Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $\ S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: $\forall P\ \not\in g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}$ .

Und für alle $Q \in g$ : Q=Q'.

Bemerkung --m.g. 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)

$P \in g$ müssen wir in der Definition berücksichtigen.

Geradenspiegelungen als Bewegungen

Satz 2.1

Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $\ A$ , $\ B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $\ g$ auf ihre Bilder $\ A'$ und $\ B'$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Bemerkung von Jessy

Jessy* 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?

Sie haben Recht, die Beweise verlaufen anders , wenn $AB \perp g$ . Sollte jedoch nicht das ganz große Problem darstellen.

Fall 1

$\ A, B$ $\in$ $\ g$

Beweis:

Nach der Def.(Geradenspiegelung) gilt: A ≡ A‘ ∧ B ≡ B‘ ⟹ |AB|=|A’B‘| q.e.d.

--Jessy* 09:53, 16. Nov. 2012 (CET)

Fall 2

$\ A$ $\in$ $\ g$ , $\ B$ $\notin$ $\ g$

Beweis:

In diesem Fall macht es bei der Beweisführung keinen Unterschied, ob A zwischen B und B' liegt oder nicht, da A zur Mittelsenkrechten gehört.

--Jessy* 10:04, 16. Nov. 2012 (CET)

Fall 3

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

Fall 3.a: A liegt nicht zwischen B und B'

--Jessy* 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)

Fall 3.b: A liegt zwischen B und B'

--Jessy* 10:35, 14. Nov. 2012 (CET)

Fall 4

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

Wenn A zwischen B und B' liegt verläuft der Beweis analog zum Beweis von Fall 3b

--Jessy* 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

Beweis

--Jessy* 10:10, 16. Nov. 2012 (CET)

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $\ S$ ist durch die Angabe eines Punktes $\ P$ und dem Bild von $\ S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $\ P \not= S(P)$ gilt.

Beweis

--Jessy* 10:14, 16. Nov. 2012 (CET)

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 ==Definition des Begriffs==
 =====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
-::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...
+::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: <math>\forall P\ \not\in  g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math>.
-<math>\forall P\ \not\in  g: g ist Mittelsenkrechte von\overline{PS_g(P)}
+Und für alle <math>Q \in g</math>: Q=Q'.
+======Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)======
+<math>P \in g</math> müssen wir in der Definition berücksichtigen.
+==Geradenspiegelungen als Bewegungen==
+====Satz 2.1====
+Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung.
 ====Beweis von Satz 2.1:====
@@ Zeile 78: / Zeile 86: @@
 Wir unterscheiden drei Fälle:
+=====Bemerkung von Jessy=====
---[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?
+[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?
+Sie haben Recht, die Beweise verlaufen anders , wenn <math>AB \perp g</math>. Sollte jedoch nicht das ganz große Problem darstellen.
 =====Fall 1=====
 ::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
 '''Beweis:''' <br />
+Nach der Def.(Geradenspiegelung) gilt: A ≡ A‘ ∧ B ≡ B‘ ⟹ |AB|=|A’B‘| q.e.d.
+--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:53, 16. Nov. 2012 (CET)
 =====Fall 2=====
 ::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
 '''Beweis:'''
+[[Bild:Fall_2.JPG|600px]]
+In diesem Fall macht es bei der Beweisführung keinen Unterschied, ob A zwischen B und B' liegt oder nicht, da A zur Mittelsenkrechten gehört.
+--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:04, 16. Nov. 2012 (CET)
 =====Fall 3=====
@@ Zeile 96: / Zeile 115: @@
 '''Beweis:'''
+Fall 3.a: A liegt nicht zwischen B und B'
-[[Bild:Fall_3.JPG]]
+[[Bild:Fall_3.JPG|800]]
 --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)
+Fall 3.b: A liegt zwischen B und B'
+[[Bild:Fall_3.b.JPG|1000px]]
+--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:35, 14. Nov. 2012 (CET)
 =====Fall 4=====
@@ Zeile 107: / Zeile 134: @@
 [[Bild:Unbenannt.JPG]]
+Wenn A zwischen B und B' liegt verläuft der Beweis analog zum Beweis von Fall 3b
 --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)
@@ Zeile 115: / Zeile 143: @@
 ==== Satz 2.2 ====
 :: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />
+'''Beweis'''
+[[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelachse.JPG|500px]]
+--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:10, 16. Nov. 2012 (CET)
 ==== Satz 2.3 ====
 :: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls  <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
 <br />
+'''Beweis'''
+[[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelbild.JPG|700px]]
+--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:14, 16. Nov. 2012 (CET)

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