Geradenspiegelungen (2012 13)

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung Idee der Symmetrie Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert. Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels Falten Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST) Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$ Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung Übungsaufgabe: Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte. Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung an einer Geraden $\ g$, $(P \notin g)$ Nr. Beschreibung des Schrittes Genauere Beschreibung Begründung der Korrektheit des Schrittes 1. Lotgerade von P auf g Fällen des Lotes von P auf die Gerade g Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) 2. Lotfußpunkt L Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) 3. IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P' Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P' Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist. Definition des Begriffs Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$) Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $\ S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: $\forall P\ \not\in g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}$. Und für alle $Q \in g$: Q=Q'. Bemerkung --*m.g.* 14:46, 13. Nov. 2012 (CET) $P \in g$ müssen wir in der Definition berücksichtigen. Geradenspiegelungen als Bewegungen Satz 2.1 Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung. Beweis von Satz 2.1: Es seien $\ A$, $\ B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $\ g$ auf ihre Bilder $\ A'$ und $\ B'$ gespiegelt werden. Wir unterscheiden drei Fälle: Bemerkung von Jessy Jessy* 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt? Sie haben Recht, die Beweise verlaufen anders , wenn $AB \perp g$. Sollte jedoch nicht das ganz große Problem darstellen. Fall 1 $\ A, B$ $\in$ $\ g$ Beweis: Nach der Def.(Geradenspiegelung) gilt: A ≡ A‘ ∧ B ≡ B‘ ⟹ |AB|=|A’B‘| q.e.d. --Jessy* 09:53, 16. Nov. 2012 (CET) Fall 2 $\ A$ $\in$ $\ g$, $\ B$ $\notin$ $\ g$ Beweis: In diesem Fall macht es bei der Beweisführung keinen Unterschied, ob A zwischen B und B' liegt oder nicht, da A zur Mittelsenkrechten gehört. --Jessy* 10:04, 16. Nov. 2012 (CET) Fall 3 $\ A, B$ $\notin$ $\ g$, $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$ Beweis: Fall 3.a: A liegt nicht zwischen B und B' --Jessy* 09:35, 7. Nov. 2012 (CET) Fall 3.b: A liegt zwischen B und B' --Jessy* 10:35, 14. Nov. 2012 (CET) Fall 4 $\ A, B$ $\notin$ $\ g$, $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$ Wenn A zwischen B und B' liegt verläuft der Beweis analog zum Beweis von Fall 3b --Jessy* 09:19, 7. Nov. 2012 (CET) Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen Bestimmung über die Spiegelgerade Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz: Satz 2.2 Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt. Beweis --Jessy* 10:10, 16. Nov. 2012 (CET) Satz 2.3 Eine Geradenspiegelung $\ S$ ist durch die Angabe eines Punktes $\ P$ und dem Bild von $\ S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $\ P \not= S(P)$ gilt. Beweis --Jessy* 10:14, 16. Nov. 2012 (CET)