Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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==Geradenspiegelung== | ==Geradenspiegelung== | ||
==== Spiegelung an der x-Achse: ==== | ==== Spiegelung an der x-Achse: ==== | ||
− | <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> | + | <math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br /> |
+ | <math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <u>Matrix für die Spiegelung an der x-Achse</u>:<br /><br /> | ||
+ | <math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math><br /><br /> | ||
+ | <u>Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse:</u><br /> | ||
+ | <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <u>'''Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung:'''</u><br /> | ||
+ | Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung.<br /><br /> | ||
+ | Zu zeigen:<br /> | ||
+ | (H) <math> \varphi </math> ist homogen<br /> | ||
+ | (A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br /> | ||
+ | Beweis zur Homogenität:<br /> | ||
+ | Beweis zur Addidtivität:<br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br /> | ||
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==== Spiegelung an der y-Achse: ==== | ==== Spiegelung an der y-Achse: ==== | ||
+ | <math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <u>Matrix für die Spiegelung an der y-Achse</u>:<br /><br /> | ||
+ | <math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math><br /><br /> | ||
+ | <u>Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse:</u><br /> | ||
+ | <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <u>'''Spiegelung an der y-Achse als lineare Abbildung:'''</u><br /> | ||
+ | Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung.<br /><br /> | ||
+ | Zu zeigen:<br /> | ||
+ | (H) <math> \varphi </math> ist homogen<br /> | ||
+ | (A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br /> | ||
+ | Beweis zur Homogenität:<br /> | ||
+ | Beweis zur Addidtivität:<br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br /> | ||
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==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ==== | ==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ==== | ||
+ | <math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <u>Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden</u>:<br /><br /> | ||
+ | <math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math><br /><br /> | ||
+ | <u>Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden:</u><br /> | ||
+ | <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <u>'''Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden als lineare Abbildung:'''</u><br /> | ||
+ | Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung.<br /><br /> | ||
+ | Zu zeigen:<br /> | ||
+ | (H) <math> \varphi </math> ist homogen<br /> | ||
+ | (A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br /> | ||
+ | Beweis zur Homogenität:<br /> | ||
+ | Beweis zur Addidtivität:<br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br /> | ||
==Zentrische Streckung== | ==Zentrische Streckung== |
Aktuelle Version vom 16. Januar 2013, 10:21 Uhr
DefinitionDefinition (lineare Abbildung) Beispielesenkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene
Drehung
Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems
Drehung der kanonischen Basisvektoren Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung:Behauptung: ist eine lineare Abbildung. GeradenspiegelungSpiegelung an der x-Achse:
Spiegelung an der y-Achse:
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden:
Zentrische StreckungIsomorphe VektorräumeDefinition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. |