Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

Definition Definition (lineare Abbildung) Es seien $\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)$ und $\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)$ zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ heißt lineare Abbildung wenn gilt: $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:$ (H) $\varphi$ ist homogen: $\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)$ (A) $\varphi$ ist additiv: $\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)$ Beispiele senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene $\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ $\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Man beweise: $\varphi$ ist lineare Abbildung Drehung Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems Drehung der kanonischen Basisvektoren $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}$ $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}$ Drehung anderer Vektoren: $\vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )$ $\vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}$ Bsp.: $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix}$ wird an O um $\alpha$ gedreht. $\vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}$ $\vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}$ Drehungsmatrix: $\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}$ Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: Behauptung: $\varphi$ ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: (H) $\varphi$ ist homogen (A) $\varphi$ ist additiv Beweis zur Homogenität: $\varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) = \varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = \lambda \cdot \varphi ( \vec{x})$ Beweis zur Additivität: $\varphi ( \vec{x} + \vec{y}) = \varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = \varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})$ Geradenspiegelung Spiegelung an der x-Achse: $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: $\begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix}$ Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: $\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung: Behauptung: $\varphi$ ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: (H) $\varphi$ ist homogen (A) $\varphi$ ist additiv Beweis zur Homogenität: Beweis zur Addidtivität: --Jessy* 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) Spiegelung an der y-Achse: $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: $\begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: $\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Spiegelung an der y-Achse als lineare Abbildung: Behauptung: $\varphi$ ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: (H) $\varphi$ ist homogen (A) $\varphi$ ist additiv Beweis zur Homogenität: Beweis zur Addidtivität: --Jessy* 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: $\begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix}$ Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: $\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden als lineare Abbildung: Behauptung: $\varphi$ ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: (H) $\varphi$ ist homogen (A) $\varphi$ ist additiv Beweis zur Homogenität: Beweis zur Addidtivität: --Jessy* 09:16, 16. Jan. 2013 (CET) Zentrische Streckung Isomorphe Vektorräume Definition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.