Version vom 24. Januar 2013, 16:16 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 11.02
2 Lösung User ...
- 2.1 Ergänzen Sie den folgenden Beweis
3 Lösung User ...
- 3.1 Ergänzen Sie den folgenden Beweis

Aufgabe 11.02

Es seien $A, B, C$ drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel $\alpha=\angle CAB$ und $\beta= \angle CBA$ seien kongruent zueinander.
Behauptung:

$\overline{AC} \tilde= \overline{BC}$

Lösung User ...

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

$m_c$ sei die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ .
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:

Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) --B..... 16:08, 24. Jan. 2013 (CET)

.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte $m_c$ durch $C$ gehen würde, wären die Strecken $\overline{CA}$ und $\overline{CB}$ kongruent zueinander.
Begründung hierfür:

Mittelsenkrechtenkriterium --B..... 16:12, 24. Jan. 2013 (CET)
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: $C \not \in m_c$

Nr.	Beweischritt	Begründung
(1)	$m_c$ schneidet o.B.d.A. $\overline{CA}$ in einem Punkt, den wir $c^*$ nennen wollen	...... An., Axiom von Pasch
(2)	$\overline{C^A} \tilde= \overline{C^B}$	... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
(3)	$\alpha \tilde= \angle C^*BA$	...2), Basiswinkelsatz
(4)	$\beta \tilde= \alpha$	... Vor.
(5)	$\beta \tilde= \angle C^*BA$	... 4),3)

--B..... 16:16, 24. Jan. 2013 (CET)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel $\beta$ und $\angle C^*BA$ sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel $BA^+$ gemeinsam haben und $C$ und $C^*$ in derselben Halbebene bzgl. $AB$ liegen,
müssen die die Schenkel $BC^+$ und $BC^{*+}$ nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen $BC^+$ und $BC^{*+}$ und weil $C$ der Schnittpunkt von $BC$ mit $AC$ und $C^{*}$ der Schnittpunkt von $BC^*$ mit $AC$ ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte $m_c$ durch den Punkt $C$ . Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall $\overline{AC} \tilde= \overline{BC}$ gilt. q.e.d.

Lösung User ...