Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

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Aufgabe 11.02

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel \alpha=\angle CAB und  \beta= \angle CBA seien kongruent zueinander.
Behauptung:

\overline{AC} \tilde= \overline{BC}


Lösung User --B..... 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)

Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --*m.g.* 09:48, 25. Jan. 2013 (CET)

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:

Existenz- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte)


Kommentar: --*m.g.* 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):

Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden.

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:

Mittelsenkrechtenkriterium

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen An., Axiom von Pasch
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} 1), Mittelsenkrechtenkriterium
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA 2), Basiswinkelsatz
(4) \beta \tilde= \alpha Vor.
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA .4),3)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem Winkelkonstruktionsaxiom identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind C* und C identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.

Lösung User ...

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen ...
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} ...
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA ...
(4) \beta \tilde= \alpha ...
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA ...

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.