Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
B..... (Diskussion | Beiträge) (→(H) Hilfskonstruktion:) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Lösung User --B..... 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)) |
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Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br /> | Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br /> | ||
Behauptung:<br /> | Behauptung:<br /> | ||
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| + | Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:48, 25. Jan. 2013 (CET) | ||
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==Ergänzen Sie den folgenden Beweis== | ==Ergänzen Sie den folgenden Beweis== | ||
===(H) Hilfskonstruktion: === | ===(H) Hilfskonstruktion: === | ||
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Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: <br /> | Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: <br /> | ||
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| − | + | <span style="color: Blue">Existenz- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte</span> <span style="color: Red">(Def. Mittelsenkrechte)</span> <br /> | |
| − | .......... | + | Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):<br /> |
| + | ::Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden. | ||
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===Was wäre wenn=== | ===Was wäre wenn=== | ||
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander.<br /> | Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander.<br /> | ||
Begründung hierfür:<br /> | Begründung hierfür:<br /> | ||
| − | + | <br /> <span style="color: Blue">Mittelsenkrechtenkriterium</span> | |
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===Was wäre wenn nicht=== | ===Was wäre wenn nicht=== | ||
Annahme: <math>C \not \in m_c</math> | Annahme: <math>C \not \in m_c</math> | ||
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!Nr.!!Beweischritt!!Begründung | !Nr.!!Beweischritt!!Begründung | ||
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| − | | (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || . | + | | (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || <span style="color: Blue">An., Axiom von Pasch</span> |
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| − | | (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || | + | | (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || <span style="color: Blue">1), Mittelsenkrechtenkriterium</span> |
|- | |- | ||
| − | | (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || | + | | (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || <span style="color: Blue">2), Basiswinkelsatz</span> |
|- | |- | ||
| − | | (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || . | + | | (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || <span style="color: Blue">Vor.</span> |
|- | |- | ||
| − | | (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || . | + | | (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || .<span style="color: Blue">4),3)</span> |
|} | |} | ||
Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:<br /><br /> | Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:<br /><br /> | ||
| − | Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. <br />Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, <br />müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem | + | Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. <br />Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, <br />müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem <span style="color:Blue">Winkelkonstruktionsaxiom</span> identisch sein.<br /> |
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math> | Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math> | ||
| − | der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind | + | der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind <span style="color: Blue">C* und C</span> identisch. |
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d. | Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d. | ||
Aktuelle Version vom 25. Januar 2013, 09:57 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 11.02
Es seien 
drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel 
und 
seien kongruent zueinander.
Behauptung:
Lösung User --B..... 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)
Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --*m.g.* 09:48, 25. Jan. 2013 (CET)
Ergänzen Sie den folgenden Beweis
(H) Hilfskonstruktion:
sei die Mittelsenkrechte der Strecke 
.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
Existenz- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte)
Kommentar: --*m.g.* 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):
- Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden.
Was wäre wenn
Wenn die Mittelsenkrechte durch 
gehen würde, wären die Strecken 
und 
kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
Mittelsenkrechtenkriterium
Was wäre wenn nicht
Annahme: 
| Nr. | Beweischritt | Begründung |
|---|---|---|
| (1) | schneidet o.B.d.A. in einem Punkt, den wir  nennen wollen |
An., Axiom von Pasch |
| (2) |  |
1), Mittelsenkrechtenkriterium |
| (3) |  |
2), Basiswinkelsatz |
| (4) |  |
Vor. |
| (5) |  |
.4),3) |
Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:
Die beiden Winkel 
und 
sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel 
gemeinsam haben und und 
in derselben Halbebene bzgl. 
liegen,
müssen die die Schenkel 
und 
nach dem Winkelkonstruktionsaxiom identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen und und weil
der Schnittpunkt von 
mit 
und 
der Schnittpunkt von 
mit ist, sind C* und C identisch.
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte durch den Punkt . Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall 
gilt. q.e.d.
Lösung User ...
Ergänzen Sie den folgenden Beweis
(H) Hilfskonstruktion:
sei die Mittelsenkrechte der Strecke .
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................
Was wäre wenn
Wenn die Mittelsenkrechte durch gehen würde, wären die Strecken und kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................
Was wäre wenn nicht
Annahme:
| Nr. | Beweischritt | Begründung |
|---|---|---|
| (1) | schneidet o.B.d.A. in einem Punkt, den wir nennen wollen |
... |
| (2) | |
... |
| (3) | |
... |
| (4) | |
... |
| (5) | |
... |
Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:
Die beiden Winkel und sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel gemeinsam haben und und in derselben Halbebene bzgl. liegen,
müssen die die Schenkel und nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen und und weil
der Schnittpunkt von mit und der Schnittpunkt von mit ist, sind ..... identisch.
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte durch den Punkt . Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall gilt. q.e.d.
