Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br />
 
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br />
 
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Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:48, 25. Jan. 2013 (CET)
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===(H) Hilfskonstruktion: ===
 
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Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: <br />
 
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Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte)    <br />
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Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):<br />
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::Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden.
  
  
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Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander.<br />
 
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander.<br />
 
Begründung hierfür:<br />
 
Begründung hierfür:<br />
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<br /> Mittelsenkrechtenkriterium       
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===Was wäre wenn nicht===
 
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| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || <span style="color: Blue">An., Axiom von Pasch</span>
 
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| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
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| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || <span style="color: Blue">1), Mittelsenkrechtenkriterium</span>
 
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| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
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| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
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| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)   
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Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:<br /><br />
 
Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:<br /><br />
  
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Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. <br />Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, <br />müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]]  16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein.<br />
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Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. <br />Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, <br />müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem <span style="color:Blue">Winkelkonstruktionsaxiom</span> identisch sein.<br />
 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
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der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]]  16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.
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der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind   <span style="color: Blue">C* und C</span> identisch.
  
 
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.
 
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Aktuelle Version vom 25. Januar 2013, 09:57 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 11.02

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel \alpha=\angle CAB und \beta= \angle CBA seien kongruent zueinander.
Behauptung:

\overline{AC} \tilde= \overline{BC}


Lösung User --B..... 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)

Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --*m.g.* 09:48, 25. Jan. 2013 (CET)

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:

Existenz- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte)


Kommentar: --*m.g.* 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):

Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden.

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:

Mittelsenkrechtenkriterium

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen An., Axiom von Pasch
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} 1), Mittelsenkrechtenkriterium
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA 2), Basiswinkelsatz
(4) \beta \tilde= \alpha Vor.
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA .4),3)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem Winkelkonstruktionsaxiom identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind C* und C identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.

Lösung User ...

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen ...
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} ...
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA ...
(4) \beta \tilde= \alpha ...
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA ...

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.

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