Serie 6 SoSe 2013: Unterschied zwischen den Versionen
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# Formulieren Sie Lenas "Definition" als Konventionaldefinition. | # Formulieren Sie Lenas "Definition" als Konventionaldefinition. | ||
− | # Es ist klar, dass Lenas Definition nicht den formal korrekten | + | # Es ist klar, dass Lenas Definition nicht den formal korrekten Ansprüchen eines Mathematikers genügt. Aber auch im Sinne einer informellen Definition auf Schülerniveau wäre Lenas Definition verbesserunsgwürdig. Skizzieren Sie einen Denkanstoß, den Sie Lena geben würden, damit Sie selbst ihre Definition präzisieren kann. |
# Formulieren Sie eine verbesserte Variante von Lenas Definition. Bleiben Sie dabei auf dem Niveau einer informellen Definition. | # Formulieren Sie eine verbesserte Variante von Lenas Definition. Bleiben Sie dabei auf dem Niveau einer informellen Definition. | ||
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# Definieren Sie mittels des Begriffes der offenen Strecke den Begriff der (geschlossenen) Strecke. | # Definieren Sie mittels des Begriffes der offenen Strecke den Begriff der (geschlossenen) Strecke. | ||
# Was könnte man unter einer halboffenen Strecke verstehen? Formulieren Sie eine entsprechende Definition. | # Was könnte man unter einer halboffenen Strecke verstehen? Formulieren Sie eine entsprechende Definition. | ||
+ | # Definieren Sie den Begriff ''Länge'' einer Strecke. | ||
# Definieren Sie den Begriff Mittelpunkt einer Strecke. | # Definieren Sie den Begriff Mittelpunkt einer Strecke. | ||
# Was könnte man unter den Viertelpunkten einer Strecke verstehen? Definieren Sie den Begriff. | # Was könnte man unter den Viertelpunkten einer Strecke verstehen? Definieren Sie den Begriff. | ||
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# <math>\forall i \in \mathbb{N}, 1 \leq i \leq n: T_i \not= \not O</math> | # <math>\forall i \in \mathbb{N}, 1 \leq i \leq n: T_i \not= \not O</math> | ||
# <math>T_1 \cup T_2 \cup \ldots \cup T_n = M</math> | # <math>T_1 \cup T_2 \cup \ldots \cup T_n = M</math> | ||
+ | # <math>\forall i,j \in \mathbb{N}, 1 \leq i,j \leq n, i \not= j: T_i \cap T_j = \not O</math> | ||
+ | Begründen Sie, warum die Zerlegung einer Geraden <math>AB</math> in die Halbgeraden <math>AB^+</math> und <math>AB^-</math> keine Klasseneinteilung von <math>AB</math> ist.<br /><br /> | ||
[[Lösung von Aufgabe 6.04 S SoSe 13]]<br /> | [[Lösung von Aufgabe 6.04 S SoSe 13]]<br /> | ||
==Aufgabe 6.05== | ==Aufgabe 6.05== | ||
− | + | Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene kollineare Punkte. Beweisen Sie, dass genau einer dieser drei Punkte zwischen den anderen beiden dieser drei Punkte liegt. | |
[[Lösung von Aufgabe 6.05 S SoSe 13]] | [[Lösung von Aufgabe 6.05 S SoSe 13]] | ||
==Aufgabe 6.06== | ==Aufgabe 6.06== | ||
− | + | Wir befinden uns in der ebenen Geometrie.<br /> Gegeben seien die beiden Punkte <math>A</math> und <math>B</math> mit <math>|AB|=5</math>. <br />Konstruieren Sie mit dem Zirkel 12 Punkte<br /> <math>P_1, P_2, \ldots P_12</math>, für die gilt: <math>|AP_i|+|BP_i|=10</math>, <math>1\leq i \leq 12</math>. <br /><br /> | |
[[Lösung von Aufgabe 6.06 S SoSe 13]] | [[Lösung von Aufgabe 6.06 S SoSe 13]] | ||
<br /> | <br /> | ||
==Aufgabe 6.07== | ==Aufgabe 6.07== | ||
− | + | Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br /> | |
+ | Wenn <math> C \in \ AB^{+} </math> und <math>\left| AB \right| < \left| AC \right| </math> dann gilt <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <br /><br /> | ||
[[Lösung von Aufgabe 6.07 S SoSe 13]] | [[Lösung von Aufgabe 6.07 S SoSe 13]] | ||
==Aufgabe 6.08== | ==Aufgabe 6.08== | ||
− | + | {{Definition|1=Zwei Geraden sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die beide Geraden vollständig enthält.}} | |
− | + | Beweisen Sie den folgenden Satz: <br /> | |
+ | '''Satz *:'''<br /> | ||
+ | ::Wenn zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> genau einen Schnittpunkt haben, so sind sie komplanar. | ||
+ | <br /> | ||
+ | <br /> | ||
[[Lösung von Aufgabe 6.08 S SoSe 13]] | [[Lösung von Aufgabe 6.08 S SoSe 13]] | ||
==Aufgabe 6.09== | ==Aufgabe 6.09== | ||
− | + | Wir betrachten die folgende Menge <math>\mathbb{P}</math>von Modellpunkten:<br /> | |
− | <br /> | + | <math>\mathbb{P}:=\{P_{i,j}|0 \leq i \leq 9 \wedge 0 \leq j \leq 9 \}</math>.<br /> |
+ | Auf der Menge der Modellpunkte definieren wir den Abstand zweier Modellpunkte <math>P_{m,n}</math> und <math>P_{q,r}</math>:<br /> | ||
+ | <math>\left|P_{m,n}P_{q,r}\right|:=|m-q|+|n-r|</math><br /><br /> | ||
+ | Beispiel:<br /> | ||
+ | <math>\left|P_{3,4}P_{5,1}\right|:=|3-5|+|4-1|=|-2|+|3|=5</math> | ||
+ | <br /> Untersuchen Sie, ob in dem Modell die Dreiecksungleichung erfüllt ist:<br /> | ||
+ | <math>\forall A,B,C \in \mathbb{P}: |AB|+|BC|\geq |AC|</math><br /><br /> | ||
[[Lösung von Aufgabe 6.09 S SoSe 13]] | [[Lösung von Aufgabe 6.09 S SoSe 13]] | ||
==Aufgabe 6.10== | ==Aufgabe 6.10== | ||
− | + | Wir gehen von dem Modell aus Aufgabe 6.09 aus. Wir betrachten in diesem Modell (ebene Geometrie) einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M:=P_{3,3}</math> und dem Radius <math>r=2</math>. Zählen Sie alle Punkte auf, die zu <math>k</math> gehören.<br /><br /> | |
[[Lösung von Aufgabe 6.10 S SoSe 13]] | [[Lösung von Aufgabe 6.10 S SoSe 13]] | ||
<!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> | <!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> |
Aktuelle Version vom 4. Juni 2013, 09:20 Uhr
Aufgabe 6.01Lena aus der 5a erklärt Ihnen, was eine Strecke ist: Strecken sind Teile von Geraden. Mein Papa hat mir gesagt, dass die Mathematiker nicht einfach so Teil sondern Teilmenge sagen. Und zu einer Festlegung sagen sie Definition. Ich definiere also:
Aufgabe 6.02Im Folgenden sind wieder formal korrekte Definitionen verlangt. Zur Verfügung steht Ihnen dazu nur die bisher aufgebaute axiomatische Theorie der Geometrie.
Aufgabe 6.03Definieren Sie den Begriff Halbgerade
Aufgabe 6.04Es seien Begründen Sie, warum die Zerlegung einer Geraden Aufgabe 6.05Es seien Lösung von Aufgabe 6.05 S SoSe 13 Aufgabe 6.06Wir befinden uns in der ebenen Geometrie. Aufgabe 6.07Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte Aufgabe 6.08Definition Zwei Geraden sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die beide Geraden vollständig enthält. Beweisen Sie den folgenden Satz:
Aufgabe 6.09Wir betrachten die folgende Menge Aufgabe 6.10Wir gehen von dem Modell aus Aufgabe 6.09 aus. Wir betrachten in diesem Modell (ebene Geometrie) einen Kreis |