Lösung von Aufgabe 12.10 SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Wenn der Scheitel eines Winkels <math>\angle ACB</math> auf einem Kreis <math>k</math> liegt und <math>\overline{AB}</math> Durchmesser von <math>k</math> ist, dann ist <math>\angle ACB</math> ein Rechter.<br />
  
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Weil <math>\overline{MA}</math>, <math>\overline{MB}</math> und <math>\overline{MC}</math> Radien von <math>k</math> sind, gilt nach dem Basiswinkelsatz: <math>\angle CAB \tilde= \angle MCA</math> und <math>\angle ABC \tilde= \angle MCB</math>. Die Größe dieser vier Winkel zusammen beträgt nach der Innenwinkelsumme im Dreieck <math>\overline{ABC}</math> <math>180^\circ</math>. Demzufolge gilt <math>|\angle ACM| + | \angle BCM| = 90^\circ</math>. q.e.d.<br /><br />
 
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Aktuelle Version vom 18. Juli 2013, 23:20 Uhr

Aufgabe 12.10

Formulieren Sie den Satz des Thales in Wenn-Dann-Form und beweisen sie ihn.


Lösung

Wenn der Scheitel eines Winkels \angle ACB auf einem Kreis k liegt und \overline{AB} Durchmesser von k ist, dann ist \angle ACB ein Rechter.

Beweis:
Es sei M der Mittelpunkt von k.
Weil \overline{MA}, \overline{MB} und \overline{MC} Radien von k sind, gilt nach dem Basiswinkelsatz: \angle CAB \tilde= \angle MCA und \angle ABC \tilde= \angle MCB. Die Größe dieser vier Winkel zusammen beträgt nach der Innenwinkelsumme im Dreieck \overline{ABC} 180^\circ. Demzufolge gilt |\angle ACM| + | \angle BCM| = 90^\circ. q.e.d.

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