Der Basiswinkelsatz: Unterschied zwischen den Versionen

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== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
 
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===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
 
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::Eine Menge <math>\ m</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P</math> aus <math>\ m</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.
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::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

Version vom 1. Juli 2010, 22:37 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übung 11 Aufgabe 1

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten \ a und \ b kongruent zueinander:

Basiswinkelsatz00.png

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt \ M der Dreiecksseite \ c.

Basiswinkelsatz01.png

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke \overline{AMC} und \overline{BMC} kongruent zueinander sind:


Basiswinkelsatz02.png

Nachweis von \overline{AMC} \cong \overline{BMC}:


Nr. Skizze Beweisschritt Begründung
(1) Basiswinkelsatz03.png \ a \cong \ b Voraussetzung
(2) Basiswinkelsatz04.png \overline{AM} \cong \overline{MB} \ M ist Mittelpunkt von \ c
(3) Basiswinkelsatz05.png \overline{MC} \cong \overline{MC} trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4) Basiswinkelsatz06.png \overline{AMC} \cong \overline{BMC} (1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch \alpha \cong \beta.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.

Lemma 1
Die Winkelhalbierende \ SW^+ eines Winkels \ \angle ASB schneidet die Strecke \overline{AB} in genau einem Punkt \ P.


Lemma01.png

Beweis von Lemma 1

später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
Eine Menge \ M von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke \ \overline{AB}, wenn für jeden Punkt \ P \in\ M gilt: \overline{AP} \cong \overline{BP}.
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