Übung 11

Aufgabe 11.1

Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

Lösung von Aufgabe 11.1

Aufgabe 11.2

Formulieren Sie den Basiswinkelsatz (Satz VII.5) auf zwei weitere Arten und Weisen.

Lösung von Aufgabe 11.2

Aufgabe 11.3

Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.

Hinweise:

1. Diese Übungsaufgabe ist eine der schwierigsten. Wir haben Sie trotzdem nicht als "Sternchenaufgabe" gekennzeichnet, weil wir glauben, dass Sie die Herausforderung meistern werden.
2. Hier finden Sie Hilfe:[1], S. 95 bzw. 102. Sie können den Beweis natürlich nicht 1 zu 1 übernehmen, da Herr Filler von einem etwas anderen Axiomensystem ausgeht Außerdem sind Druckfehler im Beweis. Sie werden diesen Widrigkeiten trotzen können.

Lösung von Aufgabe 11.3

Aufgabe 11.4

Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewisen wurde.

Lösung von Aufgabe 11.4

Aufgabe 11.5

Erläutern Sie, wie und warum sich aus den Satz VII.6 eine neue Möglichkeit, der Definition des Begriffs der Mittelsenkrechte ergibt.

Lösung von Aufgabe 11.5

Aufgabe 11.6

Wenden Sie Ihre Gedankengänge aus Aufgabe 11.5 Analog auf den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks an. Inwiefern haben wir es bei dem Basiswinkelsatz und seiner Umkehrung mit einem Kriterium zu tun.

Lösung von Aufgabe 11.6

Aufgabe 11.7

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Lösung von Aufgabe 11.7

Aufgabe 11.8

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Lösung von Aufgabe 11.8