Lösung von Aufgabe 11.3
Aus Geometrie-Wiki
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Lösung 1
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl mit und bzw. (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex. außerdem ein Punkt mit und bzw. (Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck konstruiert, dass kongruent zu ist. Denn es gilt ja . Jetzt genügt es zu zeigen, kongruent zu ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass .
- Nach Vor. gilt .
- (Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
- (Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Strecke , dann und nur dann hat er von und den gleichen Abstand.
- Nachtrag: Inzwischen haben wir ja das Mittelsenkrechtenkriterium gemacht, was genau das aussagt.
- Satz: Liegt ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Strecke , dann und nur dann hat er von und den gleichen Abstand.
- hat ja nun den gleichen Abstand von wie von , also .
- Für gilt Entsprechendes, also .
- Nach dem Satz liegen also und auf der Mittelsenkrechten von . Es ist sogar so, dass die Gerade die Mittelsenkrechte von ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt von und der Mittelpunkt von , d.h. bzw. .
- Nach Def. gilt außerdem , d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also .
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke und kongruent sind, denn es gilt: .
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel und kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel besteht aus den Schenkeln und . Wir wissen aber, dass auf liegt. Also ist identisch mit . Also auch .
- Entsprechendes gilt für , also .
q.e.d.
Lösung 2
Leider ist in der Skizze ein Punkt falsch bezeichnet, es muss natürlich statt heißen.
Vor.:
Beh.:
No. | Schritt | Begründung |
1a | Es existiert ein Punkt für den gilt | Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. ist Mittelpunkt der Strecke Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
1b | Es existiert ein Punkt für den gilt | Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. ist Mittelpunkt der Strecke Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
2 | Scheitelwinkel(*) | |
3 | Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz |
o.B.d.A.
Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dann kann man die Kongruenz der Seiten und (aus Vss.) verwenden und erhält insgesamt vier kongruente Dreiecke.
Die durch eine solche Konstruktion entstehenden kongruenten Dreiecke sind in der zweiten Skizze dargelegt.
(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?
Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:
- Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden
- Beh:
- Schritt 1a: , Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an sind supplementär.
- Schritt 1b: , Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an sind supplementär.
- Schritt 1c: analog zu 1a
- Schritt 1d: analog zu 1b
- Schritt 2: Algebraische Umformung
- Schritt 3:
--Heinzvaneugen 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)