Lösung von Aufgabe 11.7

Beweisen Sie Satz VII.6a:
Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Versuch 1:

VSS: Punkt P, $\overline{AB}$, $|AP| = |BP|$, Mittelsenkrechte m
Beh: $P \in m$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$|AP| = |BP|$	(VSS)
(II)	es existiert ein Punkt $M : |AM| = |BM|$	Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt (I)
(III)	$\alpha \cong \beta$	Basiswinkelsatz
(IV)	$\overline {PAM} \cong \overline {PBM}$	(I), (II), (III), (SWS)
(V)	$| \angle AMP| = | \angle BMP|$	(Def Dreieckskongruenz) (IV)
(VI)	$PM = m$	(Axiom I.1), (II), (V)

--> $P \in m$, die Behauptung ist wahr.
qed --Löwenzahn 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)

Welches Winkel sind $alpha$ und $beta$ und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?
--Tja??? 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)

Die Winkel $alpha$ und $beta$ entsprechen den Winkel $\angle PAB$ und $\angle ABP$. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --Löwenzahn 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)

Müsste man nicht noch einen Zwischenschritt einschieben und schreiben, wie man von den beiden kongruenten Winkeln in (V) zu $PM = m$ in (VI) kommt? Ich meine, dass es sich wegen der Definition von rechten Winkeln um solche handelt, wodurch ja erst der zweite Aspekt für die Mittelsenkrechte (siehe deren Definition) gegeben ist. --Barbarossa 10:16, 11. Jul. 2010 (UTC)

"Wenn ein Winkel das gleiche Maß hat, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist es ein rechter Winkel" (Def. rechter Winkel). Diese Bedingung ist ja durch Schritt (V) erfüllt. Meinst du trotzdem, dass es notwendig ist, nochmal darauf hinzuweisen? --Löwenzahn 10:34, 11. Jul. 2010 (UTC)

Ich denke schon, bin mir da aber auch immer unsicher. Manchmal müssen wir ganz genau sein und ein anderes Mal ist es wieder egal... --Barbarossa 13:58, 11. Jul. 2010 (UTC)

Versuch 2:

VSS:

• Punkt P, Strecke $\overline{AB}$, es gilt $|AP| = |BP|$
• Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu $\overline{AB}$ und geht durch $M \in \overline{AB}$ und es gilt: $|MA| = |MB|$

Behauptung: $P \in m$
Annahme (indirekter Beweis): $P \notin m$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Das Dreieck $\overline{ABP}$ ist gleichschenklig	Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS $|AP| = |BP|$
(II)	$\alpha \cong \beta$	Basiswinkelsatz
(III)	Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels $\angle APB$	Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
(IV)	Die Winkelhalbierende w und die Strecke $\overline {AB}$ schneiden sich in $S$	... (Skizze? Reicht das als Begründung?) Nein, Satz: Ist SP+ ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke $\overline{AB}$. vgl. Aufgabe Tutorium 12 --Tja??? 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC)
(V)	SWS: $\overline{AP}\cong \overline{BP}$ (VSS) $\overline{PS}\cong \overline{PS}$ (trivial) $\delta_1 \cong \delta_2$ (III)
(VI)	$\overline{AS} \cong \overline{BS}$	Dreieckskongruenz: (V)
(VII)	$S \equiv M$	(VI), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: $\overline{AM} \cong \overline{BM}$
(VIII)	$|\delta_1| = |\delta_2| = 90$	Dreieckskongruenz: (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel
(IX)	$m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow$ Widerspruch zu Annahme!	(VII), (VIII), (III), (VSS)

Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.

--Heinzvaneugen 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)