Lösung von Aufgabe 11.8

Beweisen Sie Satz VII.6 b:
Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Lösung 1

VSS: m ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, $P \in m$
Beh: $a \cong b$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\overline{AM} \cong \overline{BM}$	(Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt), (Def. Mittelsenkrechte)
(II)	es existiert ein Punkt $P \in m$	(VSS)
(III)	$\angle AMP \cong \angle BMP$	(Definition Mittelsenkrechte), (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(IV)	$\overline{MP} \cong \overline{MP}$	(trivial)
(V)	$\overline{AMP} \cong \overline{BMP}$	(I), (III), (IV), (SWS)
(VI)	$a \cong b$	(V), (Def Dreieckskongruenz)

--> Beh ist wahr.
qed --Löwenzahn 09:36, 3. Jul. 2010 (UTC)

Der Fall P=M sollte bei Schritt IV vielleicht noch ergänzt werden. Wenn P=M, dann hat P den gleichen Abstand zu A und B (Begründung Schritt I) --Principella 17:03, 12. Jul. 2010 (UTC)

Bei Schritt (III) würde ich als Begründung "Def. Mittelsenkrechte", "Def. senkrecht" und "Def. rechte winkel" aufführen, da man von Def. Mittelsenkrechte nicht unmittelbar schließen kann, dass die Winkel Nebenwinkel und supplementär sind! Ich habe das nochmal in 3 Extraschritte aufgeteilt. --TheGeosi 09:41, 15. Jul. 2010 (UTC)