Der Basiswinkelsatz: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür dass ein Punkte zur Mittelsenkrechten gehört)) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB}gehört.)) |
||
| Zeile 110: | Zeile 110: | ||
Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: | Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: | ||
| − | ===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB}gehört.) ===== | + | ===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ===== |
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>. | ::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>. | ||
Version vom 2. Juli 2010, 08:48 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Der Basiswinkelsatz
Gleichschenklige Dreiecke
Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.
Der Basiswinkelsatz
Satz VII.5: Basiswinkelsatz
- In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen
Es sei 
ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten 
und 
kongruent zueinander:
Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt 
der Dreiecksseite 
.
Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke 
und 
kongruent zueinander sind:
Nachweis von 
:
| Nr. | Skizze | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|---|
| (1) | 
|
|
Voraussetzung |
| (2) | 
|
|
ist Mittelpunkt von
|
| (3) | 
|
|
trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation) |
| (4) | 
|
|
(1), (2), (3), SSS |
Wegen (4) gilt nun auch 
.
w.z.b.w.
Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?
Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.
Lemma 1
- Die Winkelhalbierende
eines Winkels 
schneidet die Strecke 
in genau einem Punkt 
.
- Die Winkelhalbierende
Beweis von Lemma 1
später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
Beweis des Basiswinkelsatzes
Das Mittelsenkrechtenkriterium
Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
- Eine Menge von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke
, wenn für jeden Punkt 
gilt: 
.
- Eine Menge
Bezug zur Schule:
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke mittels Zirkel und Lineal:
Konstruktionsvorschrift:
gegeben: Strecke
gesucht: 
, die Mittelsenkrechte von
| Schrittnr. | Konstruktionsschritt |
|---|---|
| 1. | Zeichne einen Kreis um  , dessen Radius  länger als die Hälfte der Länge der Strecke ist.
|
| 2. | Behalte bei und zeichne einen Kreis um  .
|
| 3. | Der Kreis um schneidet den Kreis um in den beiden Schnittpunkten  und  .
|
| 4. | Zeichne die Gerade  . Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von .
|
Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist wirklich die Mittelsenkrechte von ?
Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:
Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört.)
- Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von .
- Wenn ein Punkt
