Lösung von Aufgabe 11.7: Unterschied zwischen den Versionen

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== Versuch 2: ==
 
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VSS: Punkt P, <math> \overline{AB} </math>, <math> |AP| = |BP| </math>,  Mittelsenkrechte m <br /> (für die gilt laut Definition: senkrecht zu <math> \overline{AB} </math> und geht durch <math> M \in \overline{AB} </math> für das gilt: <math> |MA| = |MB| </math>
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VSS:  
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Beh: <math> P \notin m </math>
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*Punkt P, Strecke <math> \overline{AB} </math>, es gilt <math> |AP| = |BP| </math>  
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*Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu <math> \overline{AB} </math> und geht durch <math> M \in \overline{AB} </math> und es gilt: <math> |MA| = |MB| </math>
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<br />Behauptung: <math> P \in m </math>
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<br />Annahme (indirekter Beweis): <math> P \notin m </math>
  
 
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| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math>  
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| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)
 
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| (VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: <math> \overline{AM} \cong \overline{BM}</math>
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| Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel
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| <math> m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow</math> Widerspruch zu Annahme!
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| (VIII), (IX), (III), (VSS)
 
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<br />Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
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<br />[[Bild:Skizze_Übung_11_7.png]]
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<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)

Version vom 10. Juli 2010, 14:19 Uhr

Beweisen Sie Satz VII.6a:
Wenn ein Punkt P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB} .


Versuch 1:

VSS: Punkt P, \overline{AB} , |AP| = |BP| , Mittelsenkrechte m
Beh: P \in m

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) |AP| = |BP| (VSS)
(II) es existiert ein Punkt M : |AM| = |BM| (Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt)
(III) \alpha \cong \beta Basiswinkelsatz
(IV) \overline {PAM} \cong \overline {PBM} (I), (II), (III), (SWS)
(V) | \angle AMP| = | \angle BMP| (Def Dreieckskongruenz) (IV)
(VI) PM = m (Axiom I.1), (II), (V)

--> P \in m , die Behauptung ist wahr.
qed --Löwenzahn 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)

Versuch 2:

VSS:

  • Punkt P, Strecke \overline{AB} , es gilt |AP| = |BP|
  • Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu \overline{AB} und geht durch M \in \overline{AB} und es gilt: |MA| = |MB|


Behauptung: P \in m
Annahme (indirekter Beweis): P \notin m

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Das Dreieck \overline{ABP} ist gleichschenklig Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS |AP| = |BP|
(II) \alpha \cong \beta Basiswinkelsatz
(III) Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels \angle APB Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
(IV) Die Winkelhalbierende w und die Strecke \overline {AB} schneiden sich in S ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
(VI) \overline{APS} \cong \overline{BPS} SWS:
\overline{AP}\cong \overline{BP} (VSS)
\overline{PS}\cong \overline{PS} (trivial)
\delta_1 \cong \delta_2 (III)
(VII) \overline{AS} \cong \overline{BS} Dreieckskongruenz: (VI)
(VIII) S \equiv M (VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: \overline{AM} \cong \overline{BM}
(IX) |\delta_1| = |\delta_2| = 90 Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel
(X) m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow Widerspruch zu Annahme! (VIII), (IX), (III), (VSS)


Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
Skizze Übung 11 7.png
--Heinzvaneugen 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)

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