Was ist eine Gruppe? SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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=Gruppendefinitionen= | =Gruppendefinitionen= | ||
==Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)== | ==Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)== | ||
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+ | Es sei <math>G</math> eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math>. <br /> | ||
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur <math>\mathbb{G}:=[G, \odot ]</math> Gruppe:<br /> | Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur <math>\mathbb{G}:=[G, \odot ]</math> Gruppe:<br /> | ||
# <math>\odot</math> ist auf <math>G</math> abgeschlossen: <math>\forall a,b \in G: a \odot b \in G</math> | # <math>\odot</math> ist auf <math>G</math> abgeschlossen: <math>\forall a,b \in G: a \odot b \in G</math> | ||
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# Bezüglich <math>\odot</math> existiert in <math>G</math> ein ("universelles") Einslement <math>e</math>: <math>\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a </math>. | # Bezüglich <math>\odot</math> existiert in <math>G</math> ein ("universelles") Einslement <math>e</math>: <math>\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a </math>. | ||
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert zu jedem <math>a</math> aus <math>G</math> ein ("persönliches") inverses Element <math>a^{-1}</math>: <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e</math>. | # Bezüglich <math>\odot</math> existiert zu jedem <math>a</math> aus <math>G</math> ein ("persönliches") inverses Element <math>a^{-1}</math>: <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e</math>. | ||
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==Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)== | ==Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)== | ||
{{Definition|1= Es sei <math>G</math> eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math>. <br /> | {{Definition|1= Es sei <math>G</math> eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math>. <br /> |
Version vom 1. Mai 2017, 14:18 Uhr
Beispiele für Gruppenendliche GruppenDie Gruppe der Deckabbildungen des RechtecksDie Gruppe der Deckabbildungen der Rauteunendliche GruppenGebrochene Zahlen:Ganze Zahlen:Gegenbeispiele für GruppenGruppendefinitionenDie "übliche" Gruppendefinition (lange Version)Definition 1 Es sei eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung .
Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)Definition Es sei eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung .
Das Linkseinslement ist auch RechtseinslementDie lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement multipliziert eben dieses Element das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird.
Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente. Satz 1
Beweis von Satz 1Übungsaufgabe, Hinweise
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