Diskussion:Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

Ich möchte hier kurz etwas anmerken:

Bei der Defintion der Halbgruppe braucht man nicht die Vorraussetzung, dass Menge $H$ nichtleer ist. Die leere Menge $\empty$ bildet auch eine Halbgruppe bezüglich der leeren Verknüpfung

$\empty : \empty \times \empty \rightarrow \empty$

die leere oder triviale Halbgruppe $(\empty,\empty)$ genannt wird.

Erst bei der Definition der Monoide muss diese Vorraussetzung gelten.

Gruß --Tutor: Alex (Diskussion) 16:30, 7. Mai 2017 (CEST)

Danke, habe man sollte doch noch mal nachschauen, wenn die Algebra lange nicht mehr gelesen hat. Warum man jetzt die leere Menge zulässt erschließt sich mir nicht ganz, aber wenn es so definiert ist ...--*m.g.* (Diskussion) 16:45, 14. Mai 2017 (CEST)

Wikipedia & Co lassen auch bei Monoiden die leere Menge zu. Für uns ist das alles aber eher weniger relevant.--*m.g.* (Diskussion) 16:56, 14. Mai 2017 (CEST)

Für mich macht es keinen Sinn einen Monoid leer zu lassen, da hier ja schon mindestens ein Element vorhanden sein muss um dieses zu definieren. Da die leere Menge $\empty$ nicht auf der leeren Verknüpfung als neutrales Element fungiert, kann dies kein Monoid sein (zwar ist die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge, aber ich sehe hier keinen Sinn). Das mit der Halbgruppe macht ja noch mehr oder weniger Sinn (wenn man alle Halbgruppen sucht)^^ --Tutor: Alex (Diskussion) 18:07, 14. Mai 2017 (CEST)

Update: Die leere Menge zusammen mit der leeren Verknüpfung ist einzig und allein eine Halbgruppe. Um ein erstes Monoid mit ihr zu erstellen habe ich folgendes:

$G^0 \rightarrow G\ ,\ \empty \mapsto e$ , in Bezug auf die Verknüpfung $\ast$, denn $G^0 = G^\empty = \big\{\empty\big\}$

Gruß --Tutor: Alex (Diskussion) 13:38, 16. Mai 2017 (CEST)

Klar, man braucht es nicht zu fordern, da die Menge mittels derer man das Monoid aufbaut nicht leer sein kann.--*m.g.* (Diskussion) 15:51, 17. Mai 2017 (CEST)